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МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§4. æÕÎËÃÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÒÑÄÙ 31
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÑÄ
(13)
∞
X
n=0
x
2n+1
= x + x
3
+ x
5
+ x
7
+ . . . = x ·
1 + x
2
+ x
4
+ x
6
+ . . .
=
= x ·
∞
X
n=0
x
2n
= x ·
1
1 − x
2
=
x
1 − x
2
ÐÒÉ |x| < 1.
ðÒÏÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍ ÜÔÏÔ ÒÑÄ
(14)
∞
X
n=0
x
2n+1
!
0
=
∞
X
n=0
x
2n+1
0
=
∞
X
n=0
(2n + 1)x
2n
.
ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÕÞÉÔÙ×ÁÑ (14) É (13), ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÏÔ×ÅÔ
∞
X
n=0
(2n + 1)x
2n
=
∞
X
n=0
x
2n+1
!
0
=
x
1 − x
2
0
=
=
1 − x
2
− x(−2x)
(1 − x
2
)
2
=
1 + x
2
(1 − x
2
)
2
ÐÒÉ |x| < 1.
úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ
îÁÊÔÉ ÏÂÌÁÓÔØ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÒÑÄÁ:
135)
∞
P
n=0
(−1)
n
x
n
.
136)
∞
P
n=1
1
x
2n
+ 1
.
137)
∞
P
n=1
n
3
nx
− 1
.
138)
∞
P
n=1
x(x + n)
n
n
.
139)
∞
P
n=1
x
n
1 + x
2n
.
140)
∞
P
n=1
n
n
2
+ 1
1 + 2x
1 + 3x
n
.
141)
∞
P
n=1
1
n
5
√
n
1 + 2x
4 + x
n
.
142)
∞
P
n=2
(−1)
n
n − 1
5
√
n(n + 1)
x
3x − 1
n
.
§4. æÕÎËÃÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÒÑÄÙ                                                              31

  òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÑÄ
       ∞
       X
             x2n+1 = x + x3 + x5 + x7 + . . . = x · 1 + x2 + x4 + x6 + . . . =
                                                                            
(13)
       n=0
                                      ∞
                                      X                   1        x
                                =x·         x2n = x ·          =          ÐÒÉ |x| < 1.
                                      n=0
                                                        1 − x2   1 − x2
ðÒÏÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍ ÜÔÏÔ ÒÑÄ
               ∞
                        !0   ∞            ∞
                                 2n+1 0
              X              X            X
                   2n+1
                                            (2n + 1)x2n.
                                     
(14)             x         =   x        =
                     n=0            n=0                 n=0

ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÕÞÉÔÙ×ÁÑ (14) É (13), ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÏÔ×ÅÔ
  ∞                 ∞
                              !0          0
 X
              2n
                   X
                         2n+1        x
     (2n + 1)x =       x        =        2
                                              =
 n=0               n=0
                                   1 − x
                                     1 − x2 − x(−2x)    1 + x2
                                   =                 =                    ÐÒÉ |x| < 1.
                                         (1 − x2)2     (1 − x2 )2

úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ

îÁÊÔÉ ÏÂÌÁÓÔØ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÆÕÎËÃÉÏÎÁÌØÎÏÇÏ ÒÑÄÁ:
       P∞ (−1)n
  135)         n
                  .
       n=0   x
       P∞      1
  136)      2n
                    .
       n=1 x + 1
       P∞      n
  137)              .
           3nx − 1 
       n=1 
        ∞                 n
       P     x(x + n)
  138)                      .
       n=1       n
       P∞     xn
  139)           2n
                    .
       n=1 1 + x             n
       P∞     n       1 + 2x
  140)       2+1
                                 .
       n=1 n          1 + 3xn
        ∞
                 
       P     1      1 + 2x
  141)       √                 .
       n=1 n n
             5
                     4+x            n
        ∞            n − 1         x
          (−1)n √
       P
  142)                                  .
       n=2
                  5
                    n(n + 1) 3x − 1

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