Ряды. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

30 §4. æÕÎËÃÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÒÑÄÙ
ðÒÉÍÅÒ 8. òÁÚÌÏÖÉÔØ ÆÕÎËÃÉÀ
f(x) =
1
(1 − x)
2
× ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ Ó ÃÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ 0 ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (−1; 1), ÅÓÌÉ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ
ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ
1
1 − x
= 1 + x + x
2
+ x
3
+ . . . + x
n
+ . . .
òÅÛÅÎÉÅ: ÷ÏÓÐÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÔÅÍ, ÞÔÏ
1
(1 − x)
2
=
1
1 − x
0
= (1 + x + x
2
+ x
3
+ . . . + x
n
+ . . .)
0
=
= 1 + 2x + 3x
2
+ . . . + nx
n−1
+ . . .
ôÁË ËÁË ÐÒÉ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÉÎÔÅÒ×ÁÌ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÓÔÅÐÅÎÎÏÇÏ ÒÑÄÁ ÎÅ
ÍÅÎÑÅÔÓÑ, ÔÏ ÎÁÊÄÅÎÎÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÐÒÉ x, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ
ÕÓÌÏ×ÉÀ −1 < x < 1.
ðÒÉÍÅÒ 9. îÁÊÔÉ ÓÕÍÍÕ ÒÑÄÁ
1 + 3x
2
+ 5x
4
+ 7x
6
+ . . . =
∞
X
n=0
(2n + 1)x
2n
ÐÒÉ |x| < 1.
òÅÛÅÎÉÅ: ðÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ÚÁÄÁÞ ÔÁËÏÇÏ ÔÉÐÁ ÉÓÐÏÌØÚÕÀÔ ÉÚ×ÅÓÔÎÏÅ ÒÁÚ-
ÌÏÖÅÎÉÅ
∞
X
n=0
x
n
=
1
1 − x
ÐÒÉ |x| < 1 (ÓÍ. ÚÁÍÅÞÁÎÉÅ ÎÁ Ó. 22),
ËÏÔÏÒÏÅ ÍÏÖÎÏ ÐÅÒÅÐÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ
1
1 − x
p
=
∞
X
n=0
x
pn
, |x| < 1
ÉÌÉ × ×ÉÄÅ
1
1 + x
p
=
1
1 − (−x
p
)
=
∞
X
n=0
(−x
p
)
n
=
∞
X
n=0
(−1)
n
x
pn
, |x| < 1,
Á ÔÁËÖÅ ÉÓÐÏÌØÚÕÀÔ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÏÓÔÉ É ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÏÓÔÉ ÓÔÅ-
ÐÅÎÎÙÈ ÒÑÄÏ×.
30                                                               §4. æÕÎËÃÉÏÎÁÌØÎÙÅ ÒÑÄÙ

     ðÒÉÍÅÒ 8. òÁÚÌÏÖÉÔØ ÆÕÎËÃÉÀ
                                                     1
                                        f (x) =
                                                  (1 − x)2
× ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ Ó ÃÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ 0 ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (−1; 1), ÅÓÌÉ ÉÚ×ÅÓÔÎÏ
ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ
                         1
                            = 1 + x + x 2 + x3 + . . . + x n + . . .
                        1−x
     òÅÛÅÎÉÅ: ÷ÏÓÐÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÔÅÍ, ÞÔÏ
                        0
    1              1
          =                   = (1 + x + x2 + x3 + . . . + xn + . . .)0 =
 (1 − x)2         1−x
                                                        = 1 + 2x + 3x2 + . . . + nxn−1 + . . .

ôÁË ËÁË ÐÒÉ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ×ÁÎÉÉ ÉÎÔÅÒ×ÁÌ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÓÔÅÐÅÎÎÏÇÏ ÒÑÄÁ ÎÅ
ÍÅÎÑÅÔÓÑ, ÔÏ ÎÁÊÄÅÎÎÏÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ÍÅÓÔÏ ÐÒÉ x, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ
ÕÓÌÏ×ÉÀ −1 < x < 1.
   ðÒÉÍÅÒ 9. îÁÊÔÉ ÓÕÍÍÕ ÒÑÄÁ
                                                  ∞
                                                  X
                    2         4     6
           1 + 3x + 5x + 7x + . . . =                   (2n + 1)x2n ÐÒÉ |x| < 1.
                                                  n=0

  òÅÛÅÎÉÅ: ðÒÉ ÒÅÛÅÎÉÉ ÚÁÄÁÞ ÔÁËÏÇÏ ÔÉÐÁ ÉÓÐÏÌØÚÕÀÔ ÉÚ×ÅÓÔÎÏÅ ÒÁÚ-
ÌÏÖÅÎÉÅ
             ∞
             X             1
                   xn =             ÐÒÉ |x| < 1 (ÓÍ. ÚÁÍÅÞÁÎÉÅ ÎÁ Ó. 22),
             n=0
                          1−x
ËÏÔÏÒÏÅ ÍÏÖÎÏ ÐÅÒÅÐÉÓÁÔØ × ×ÉÄÅ
                                              ∞
                                   1      X
                                      p
                                        =     xpn, |x| < 1
                                  1−x     n=0

ÉÌÉ × ×ÉÄÅ
                                          ∞                  ∞
            1          1      X
                                     p n
                                           X
               p
                 =        p
                            =    (−x  )  =     (−1)nxpn, |x| < 1,
           1+x     1 − (−x ) n=0           n=0

Á ÔÁËÖÅ ÉÓÐÏÌØÚÕÀÔ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÏÓÔÉ É ÉÎÔÅÇÒÉÒÕÅÍÏÓÔÉ ÓÔÅ-
ÐÅÎÎÙÈ ÒÑÄÏ×.

Страницы