Ряды. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

44 §6. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÑ ÓÔÅÐÅÎÎÙÈ ÒÑÄÏ×
§6. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÑ ÓÔÅÐÅÎÎÙÈ ÒÑÄÏ×
6.1. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÑ ÒÑÄÏ× Ë ÐÒÉÂÌÉÖÅÎÎÙÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑÍ
òÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ (ÓÍ. §5) ÍÏÖ-
ÎÏ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÄÌÑ ÐÒÉÂÌÉÖÅÎÎÏÇÏ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÜÔÉÈ ÆÕÎËÃÉÊ.
ðÕÓÔØ ÎÁÄÏ ÎÁÊÔÉ f(x
0
) ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÉ f (x), ËÏÔÏÒÁÑ ÒÁÓËÌÁÄÙ×ÁÅÔÓÑ ×
ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ
(1) f(x) =
∞
X
n=0
a
n
x
n
, |x| < R, x
0
∈ (−R; R).
ôÏÇÄÁ
f(x
0
) = a
0
+ a
1
x
0
+ a
2
x
2
0
+ . . . + a
n
x
n
0
+ . . .
úÁÍÅÎÑÑ ÚÎÁÞÅÎÉÅ f (x
0
) ÓÕÍÍÏÊ n ÞÌÅÎÏ× ÜÔÏÇÏ ÒÑÄÁ
S
n
= a
0
+ a
1
x
0
+ a
2
x
2
0
+ . . . + a
n−1
x
n−1
0
,
ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÐÒÉÂÌÉÖÅÎÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ f (x
0
), ÐÒÉ ÜÔÏÍ ÏÛÉÂËÁ ÒÁ×ÎÁ
(2) |r
n
(x)| = |a
n
x
n
0
+ a
n+1
x
n+1
0
+ . . . |.
÷ ÓÉÌÕ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÁ (1) × ÔÏÞËÅ x = x
0
, ÐÒÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÏÍ n
ÜÔÁ ÏÛÉÂËÁ ÓÔÁÎÅÔ ÓËÏÌØ ÕÇÏÄÎÏ ÍÁÌÏÊ É S
n
ÄÁÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÅ f(x
0
) Ó ÌÀÂÏÊ
ÎÁÐÅÒÅÄ ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÔÏÞÎÏÓÔØÀ. äÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ f(x
0
) Ó ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÔÏÞÎÏÓÔØÀ
ÎÁÄÏ ÕÍÅÔØ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÉÔØ ÏÃÅÎËÕ ÏÓÔÁÔËÁ (2), ÞÔÏ ÐÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÂÒÁÔØ ÔÒÅÂÕÅÍÏÅ
ÞÉÓÌÏ ÞÌÅÎÏ× × S
n
.
ïÃÅÎËÁ ÏÓÔÁÔËÁ ÒÑÄÁ ÏÓÏÂÅÎÎÏ ÐÒÏÓÔÁ, ÅÓÌÉ ÒÑÄ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÐÒÉÚÎÁËÕ
ìÅÊÂÎÉÃÁ (ÓÍ. ÐÕÎËÔ 3.1). ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÓÔÁÔÏË ÉÍÅÅÔ ÚÎÁË Ó×ÏÅÇÏ ÐÅÒ×ÏÇÏ
ÞÌÅÎÁ É ÐÏ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÅ ÍÅÎØÛÅ ÅÇÏ.
÷ ÓÌÕÞÁÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÒÑÄÁ ÁÂÓÏÌÀÔÎÁÑ ×ÅÌÉÞÉÎÁ r
n
ÎÅ ÐÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ
ÓÕÍÍÙ ÁÂÓÏÌÀÔÎÙÈ ×ÅÌÉÞÉÎ ÞÌÅÎÏ×, ×ÈÏÄÑÝÉÈ × r
n
. äÌÑ ÕÖÅ ÐÏÌÕÞÅÎÎÏÇÏ
ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÑÄÁ ÓÔÁÒÁÀÔÓÑ ÎÁÊÔÉ ÌÅÇËÏ ÓÕÍÍÉÒÕÅÍÙÊ ÒÑÄ ÉÚ ÐÏÌÏÖÉ-
ÔÅÌØÎÙÈ ÞÌÅÎÏ×, ÞÌÅÎÙ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÂÙÌÉ ÂÙ ÎÅ ÍÅÎØÛÅ ÁÂÓÏÌÀÔÎÙÈ ×ÅÌÉÞÉÎ
ÞÌÅÎÏ× ÏÓÔÁÔËÁ, É ÏÃÅÎÉ×ÁÀÔ ÏÓÔÁÔÏË ÓÕÍÍÏÊ ÜÔÏÇÏ ÒÑÄÁ.
ðÒÉÍÅÒ 1. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ 10
−4
ÚÎÁÞÅÎÉÅ cos 18
◦
.
òÅÛÅÎÉÅ:
cos 18
◦
= cos
π
10
=
∞
X
n=0
(−1)
n
(2n)!
·
π
2n
10
2n
.
ôÁË ËÁË ÜÔÏÔ ÒÑÄ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÐÒÉÚÎÁËÕ ìÅÊÂÎÉÃÁ, ÔÏ ÅÇÏ ÏÓÔÁÔÏË r
n
ÎÅ
ÐÒÅ×ÙÛÁÅÔ ÐÏ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÅ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÉÚ ÞÌÅÎÏ× × r
n
. îÁÊÄÅÍ n ÉÚ
44                                              §6. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÑ ÓÔÅÐÅÎÎÙÈ ÒÑÄÏ×

     §6. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÑ ÓÔÅÐÅÎÎÙÈ ÒÑÄÏ×
6.1. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÑ ÒÑÄÏ× Ë ÐÒÉÂÌÉÖ
                               ÅÎÎÙÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑÍ

òÁÚÌÏÖÅÎÉÑ ÏÓÎÏ×ÎÙÈ ÜÌÅÍÅÎÔÁÒÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ (ÓÍ. §5) ÍÏÖ-
ÎÏ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÔØ ÄÌÑ ÐÒÉÂÌÉÖÅÎÎÏÇÏ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÜÔÉÈ ÆÕÎËÃÉÊ.
   ðÕÓÔØ ÎÁÄÏ ÎÁÊÔÉ f (x0) ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÉ f (x), ËÏÔÏÒÁÑ ÒÁÓËÌÁÄÙ×ÁÅÔÓÑ ×
ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ
                          ∞
                          X
(1)             f (x) =         an x n ,   |x| < R,   x0 ∈ (−R; R).
                          n=0

ôÏÇÄÁ
                f (x0) = a0 + a1 x0 + a2 x20 + . . . + an xn0 + . . .
úÁÍÅÎÑÑ ÚÎÁÞÅÎÉÅ f (x0) ÓÕÍÍÏÊ n ÞÌÅÎÏ× ÜÔÏÇÏ ÒÑÄÁ
                  Sn = a0 + a1 x0 + a2 x20 + . . . + an−1 x0n−1,
ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÐÒÉÂÌÉÖÅÎÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ f (x0), ÐÒÉ ÜÔÏÍ ÏÛÉÂËÁ ÒÁ×ÎÁ
(2)                  |rn (x)| = |an xn0 + an+1 xn+1
                                                0   + . . . |.
÷ ÓÉÌÕ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÁ (1) × ÔÏÞËÅ x = x0, ÐÒÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ÂÏÌØÛÏÍ n
ÜÔÁ ÏÛÉÂËÁ ÓÔÁÎÅÔ ÓËÏÌØ ÕÇÏÄÎÏ ÍÁÌÏÊ É Sn ÄÁÅÔ ÚÎÁÞÅÎÉÅ f (x0) Ó ÌÀÂÏÊ
ÎÁÐÅÒÅÄ ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÔÏÞÎÏÓÔØÀ. äÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ f (x0) Ó ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÔÏÞÎÏÓÔØÀ
ÎÁÄÏ ÕÍÅÔØ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÉÔØ ÏÃÅÎËÕ ÏÓÔÁÔËÁ (2), ÞÔÏ ÐÏÚ×ÏÌÑÅÔ ÂÒÁÔØ ÔÒÅÂÕÅÍÏÅ
ÞÉÓÌÏ ÞÌÅÎÏ× × Sn .
   ïÃÅÎËÁ ÏÓÔÁÔËÁ ÒÑÄÁ ÏÓÏÂÅÎÎÏ ÐÒÏÓÔÁ, ÅÓÌÉ ÒÑÄ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÐÒÉÚÎÁËÕ
ìÅÊÂÎÉÃÁ (ÓÍ. ÐÕÎËÔ 3.1). ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÏÓÔÁÔÏË ÉÍÅÅÔ ÚÎÁË Ó×ÏÅÇÏ ÐÅÒ×ÏÇÏ
ÞÌÅÎÁ É ÐÏ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÅ ÍÅÎØÛÅ ÅÇÏ.
   ÷ ÓÌÕÞÁÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÇÏ ÒÑÄÁ ÁÂÓÏÌÀÔÎÁÑ ×ÅÌÉÞÉÎÁ rn ÎÅ ÐÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ
ÓÕÍÍÙ ÁÂÓÏÌÀÔÎÙÈ ×ÅÌÉÞÉÎ ÞÌÅÎÏ×, ×ÈÏÄÑÝÉÈ × rn . äÌÑ ÕÖÅ ÐÏÌÕÞÅÎÎÏÇÏ
ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÑÄÁ ÓÔÁÒÁÀÔÓÑ ÎÁÊÔÉ ÌÅÇËÏ ÓÕÍÍÉÒÕÅÍÙÊ ÒÑÄ ÉÚ ÐÏÌÏÖÉ-
ÔÅÌØÎÙÈ ÞÌÅÎÏ×, ÞÌÅÎÙ ËÏÔÏÒÏÇÏ ÂÙÌÉ ÂÙ ÎÅ ÍÅÎØÛÅ ÁÂÓÏÌÀÔÎÙÈ ×ÅÌÉÞÉÎ
ÞÌÅÎÏ× ÏÓÔÁÔËÁ, É ÏÃÅÎÉ×ÁÀÔ ÏÓÔÁÔÏË ÓÕÍÍÏÊ ÜÔÏÇÏ ÒÑÄÁ.
   ðÒÉÍÅÒ 1. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ 10−4 ÚÎÁÞÅÎÉÅ cos 18◦.
   òÅÛÅÎÉÅ:
                                      ∞
                          ◦      π   X   (−1)n π 2n
                    cos 18 = cos   =           ·    .
                                 10 n=0 (2n)! 102n
ôÁË ËÁË ÜÔÏÔ ÒÑÄ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÐÒÉÚÎÁËÕ ìÅÊÂÎÉÃÁ, ÔÏ ÅÇÏ ÏÓÔÁÔÏË r n ÎÅ
ÐÒÅ×ÙÛÁÅÔ ÐÏ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÅ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÉÚ ÞÌÅÎÏ× × r n . îÁÊÄÅÍ n ÉÚ

Страницы