Ряды. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§6. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÑ ÓÔÅÐÅÎÎÙÈ ÒÑÄÏ× 45
ÕÓÌÏ×ÉÑ
|r
n
| < 10
−4
, ÔÏ ÅÓÔØ
π
2n
(2n)! · 10
2n
< 10
−4
.
ðÒÉ n = 1 ÉÍÅÅÍ
π
2
2! · 10
2
=
π
2
200
>
3
2
200
> 10
−4
.
ðÒÉ n = 2
π
4
4! · 10
4
=
1
10
4
·
π ·π · π
2
2 · 3 · 4
> 10
−4
.
ðÒÉ n = 3
π
6
6! · 10
6
=
1
10
4
·
π
6
6! · 10
2
=
1
10
4
·
π
6
2
6
· 3
2
· 5
3
=
1
10
4
·
π
2
4
·
π
2
6
2
·
π
3
5
3
< 10
−4
.
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÄÌÑ ÐÏÌÕÞÅÎÉÑ ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ×ÚÑÔØ ÔÒÉ ÞÌÅ-
ÎÁ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ. éÍÅÅÍ
cos 18
◦
= 1 −
π
2
2! · 10
2
+
π
4
4! · 10
4
≈ 0, 951.
ðÒÉÍÅÒ 2. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ 10
−4
ÚÎÁÞÅÎÉÅ
4
√
630.
òÅÛÅÎÉÅ:
4
p
630 =
4
p
625 + 5 =
4
p
625(1 + 0, 008) = 5
4
p
1 + 0, 008 = 5(1 + 0, 008)
1
4
.
éÓÐÏÌØÚÕÅÍ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ × ÒÑÄ ÆÕÎËÃÉÉ (1+x)
m
. ðÏÌÁÇÁÑ x = 0, 008 É m =
1
4
,
ÐÏÌÕÞÉÍ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ
(1 + 0, 008)
1
4
= 1 +
1
4
· 0, 008 −
3
16 · 2!
(0, 008)
2
+
3 · 7
64 · 3!
(0, 008)
3
− . . . =
= 1 + 0, 002 − 0, 000006 + 0, 000000028 − . . .
üÔÏÔ ÒÑÄ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÐÒÉÚÎÁËÕ ìÅÊÂÎÉÃÁ. ðÏÜÔÏÍÕ ÅÇÏ ÏÓÔÁÔÏË ÎÅ ÐÒÅ-
×ÏÓÈÏÄÉÔ ÐÏ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÅ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÉÚ ÞÌÅÎÏ×, ×ÈÏÄÑÝÉÈ × ÏÓÔÁÔÏË.
÷ ÓÌÕÞÁÅ n = 3 |r
3
| 6 5 ·6 ·10
−6
= 3 ·10
−5
< 10
−4
. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ
×ÚÑÔØ Ä×Á ÞÌÅÎÁ ÒÑÄÁ
4
p
630 = 5
4
p
1 + 0, 008 = 5(1 + 0, 002) = 5, 01.
ðÒÉÍÅÒ 3. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ 10
−3
ÉÎÔÅÇÒÁÌ
1
2
Z
0
dx
3
√
1 + x
2
.
§6. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÑ ÓÔÅÐÅÎÎÙÈ ÒÑÄÏ×                                                     45

ÕÓÌÏ×ÉÑ
                                −4              π 2n
                  |rn | < 10 ,       ÔÏ ÅÓÔØ            2n
                                                           < 10−4.
                                             (2n)! · 10
ðÒÉ n = 1 ÉÍÅÅÍ
                               π2       π2   32
                                    2
                                      =    >    > 10−4.
                            2! · 10     200 200
ðÒÉ n = 2
                             π4        1 π · π · π2
                                  4
                                    =    4
                                           ·        > 10−4.
                          4! · 10     10     2·3·4
ðÒÉ n = 3
        π6       1    π6       1     π6      1 π π2 π3
             6
               = 4·        2
                             = 4 · 6 2 3 = 4 · 4 · 2 · 3 < 10−4.
     6! · 10    10 6! · 10    10 2 · 3 · 5  10 2 6 5
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÄÌÑ ÐÏÌÕÞÅÎÉÑ ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ ×ÚÑÔØ ÔÒÉ ÞÌÅ-
ÎÁ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ. éÍÅÅÍ
                            ◦      π2       π4
                   cos 18 = 1 −         +         ≈ 0, 951.
                                2! · 102 4! · 104
                                                           √
  ðÒÉÍÅÒ 2. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ 10−4 ÚÎÁÞÅÎÉÅ 4 630.
  òÅÛÅÎÉÅ:
  p       p            p                    p                             1
   4
     630 = 4 625 + 5 = 4 625(1 + 0, 008) = 5 4 1 + 0, 008 = 5(1 + 0, 008) 4 .
éÓÐÏÌØÚÕÅÍ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ × ÒÑÄ ÆÕÎËÃÉÉ (1+x)m. ðÏÌÁÇÁÑ x = 0, 008 É m = 41 ,
ÐÏÌÕÞÉÍ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ
             1          1              3                  3·7
 (1 + 0, 008) 4 = 1 +     · 0, 008 −         (0, 008)2 +         (0, 008)3 − . . . =
                        4            16 · 2!             64 · 3!
                                     = 1 + 0, 002 − 0, 000006 + 0, 000000028 − . . .
üÔÏÔ ÒÑÄ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÐÒÉÚÎÁËÕ ìÅÊÂÎÉÃÁ. ðÏÜÔÏÍÕ ÅÇÏ ÏÓÔÁÔÏË ÎÅ ÐÒÅ-
×ÏÓÈÏÄÉÔ ÐÏ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏÊ ×ÅÌÉÞÉÎÅ ÐÅÒ×ÏÇÏ ÉÚ ÞÌÅÎÏ×, ×ÈÏÄÑÝÉÈ × ÏÓÔÁÔÏË.
÷ ÓÌÕÞÁÅ n = 3 |r3 | 6 5 · 6 · 10−6 = 3 · 10−5 < 10−4. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÄÏÓÔÁÔÏÞÎÏ
×ÚÑÔØ Ä×Á ÞÌÅÎÁ ÒÑÄÁ
                p
                4
                             p
                   630 = 5 4 1 + 0, 008 = 5(1 + 0, 002) = 5, 01.
  ðÒÉÍÅÒ 3. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ Ó ÔÏÞÎÏÓÔØÀ ÄÏ 10−3 ÉÎÔÅÇÒÁÌ
                                          1
                                     Z2
                                                 dx
                                              √
                                              3
                                                       .
                                                1 + x2
                                      0

Страницы