Ряды. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§6. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÑ ÓÔÅÐÅÎÎÙÈ ÒÑÄÏ× 47
ðÏÌÁÇÁÑ x =
1
3
, ÉÍÅÅÍ
ln
1 +
1
3
1 −
1
3
= ln 2 = 2 ·
1
3
+
1
4
4
· 3
+
1
3
5
· 5
+
1
3
7
· 7
+ . . .
.
úÁÄÁÎÎÕÀ ÔÏÞÎÏÓÔØ ÏÂÅÓÐÅÞÉ×ÁÀÔ ÞÅÔÙÒÅ ÞÌÅÎÁ ÜÔÏÇÏ ÒÑÄÁ, ÐÏÓËÏÌØËÕ
r
5
= 2 ·
1
3
9
· 9
+
1
3
11
· 11
+ . . .
=
2
3
9
· 9
·
1 +
1
3
2
· 11
+
1
3
4
· 13
+ . . .
<
<
2
3
9
· 9
·
1 +
1
3
2
+
1
3
4
+ . . .
=
2
3
9
· 9
·
1
1 −
1
9
< 10
−4
.
ðÏÜÔÏÍÕ
ln 2 ≈
2
3
1 +
1
27
+
1
405
+
1
5103
≈ 0, 6931.
úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÐÏÐÙÔËÁ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ln 2 ÐÕÔÅÍ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ x = 1 × ÒÑÄ ôÅÊ-
ÌÏÒÁ ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÉ ln(1 + x) ÐÒÉ×ÅÄÅÔ Ë ÏÞÅÎØ ÇÒÏÍÏÚÄËÉÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑÍ, ÔÁË
ËÁË ÄÌÑ ÎÕÖÎÏÊ ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÐÒÉÄÅÔÓÑ ×ÚÑÔØ 1000 ÞÌÅÎÏ× ÒÑÄÁ.
6.2. ðÒÉÍÅÎÅÎÉÅ ÒÑÄÏ× ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅ-
ÎÉÊ
ðÕÓÔØ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÒÅÛÉÔØ ÏÂÙËÎÏ×ÅÎÎÏÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÅÒ-
×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ y
0
= f(x, y) ÐÒÉ ÚÁÄÁÎÎÙÈ ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ y = y
0
ÐÒÉ
x = x
0
, ÔÏ ÅÓÔØ y(x
0
) = y
0
. ðÒÅÄÐÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ y(x) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÄÁÎ-
ÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÒÉ ÕËÁÚÁÎÎÏÍ ÕÓÌÏ×ÉÉ. òÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ y(x) ÉÝÅÍ ×
×ÉÄÅ ÒÑÄÁ ôÅÊÌÏÒÁ × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ x = x
0
.
(3) y(x) = y(x
0
) +
y
0
(x
0
)
1!
(x − x
0
) +
y
00
(x
0
)
2!
(x − x
0
)
2
+
+
y
000
(x
0
)
3!
(x − x
0
)
3
+ . . . +
y
(n)
(x
0
)
n!
(x − x
0
)
n
+ . . .
ó×ÏÂÏÄÎÙÊ ÞÌÅÎ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ (3), ÔÏ ÅÓÔØ y(x
0
), ÉÚ×ÅÓÔÅÎ ÉÚ ÎÁÞÁÌØÎÏ-
ÇÏ ÕÓÌÏ×ÉÑ. úÎÁÞÅÎÉÅ y
0
(x
0
) ÍÏÖÎÏ ÐÏÌÕÞÉÔØ, ÅÓÌÉ ÐÏÄÓÔÁ×ÉÔØ ÎÁÞÁÌØÎÏÅ
ÕÓÌÏ×ÉÅ × ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ. úÎÁÞÅÎÉÅ y
00
(x
0
) ÍÏÖÎÏ ÐÏÌÕÞÉÔØ,
ÅÓÌÉ ÐÒÏÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ×ÁÔØ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, Á ÚÁ-
ÔÅÍ ÐÏÄÓÔÁ×ÉÔØ ÕÖÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ y(x
0
) É y
0
(x
0
) ÐÒÉ x = x
0
. ðÏÓÔÕÐÁÑ
ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÔÏ ÅÓÔØ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÑ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÚÁÄÁÎÎÏ-
ÇÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÏ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ x, ÍÏÖÎÏ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ
ÎÁÈÏÄÉÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÑ y
000
(x
0
), y
IV
(x
0
) É ÔÁË ÄÁÌÅÅ.
§6. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÑ ÓÔÅÐÅÎÎÙÈ ÒÑÄÏ×                                                           47

ðÏÌÁÇÁÑ x = 31 , ÉÍÅÅÍ
                1 + 13
                                                                     
                                          1   1      1      1
             ln        = ln 2 = 2 ·         +     +      +       + ... .
                1 − 13                    3 44 · 3 35 · 5 37 · 7
úÁÄÁÎÎÕÀ ÔÏÞÎÏÓÔØ ÏÂÅÓÐÅÞÉ×ÁÀÔ ÞÅÔÙÒÅ ÞÌÅÎÁ ÜÔÏÇÏ ÒÑÄÁ, ÐÏÓËÏÌØËÕ
                                                                 
              1       1                2          1       1
 r5 = 2 ·         +         + ... = 9     · 1+ 2      +        + ... <
            39 · 9 311 · 11          3 ·9       3 · 11 34 · 13
                                                 
                             2         1    1           2      1
                        < 9      · 1 + 2 + 4 + ... = 9      ·    1 < 10−4.
                           3 ·9       3    3          3 ·9 1− 9
ðÏÜÔÏÍÕ
                                              
                      2       1      1      1
               ln 2 ≈     1+    +       +        ≈ 0, 6931.
                      3       27 405 5103
úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÐÏÐÙÔËÁ ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ln 2 ÐÕÔÅÍ ÐÏÄÓÔÁÎÏ×ËÉ x = 1 × ÒÑÄ ôÅÊ-
ÌÏÒÁ ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÉ ln(1 + x) ÐÒÉ×ÅÄÅÔ Ë ÏÞÅÎØ ÇÒÏÍÏÚÄËÉÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑÍ, ÔÁË
ËÁË ÄÌÑ ÎÕÖÎÏÊ ÔÏÞÎÏÓÔÉ ÐÒÉÄÅÔÓÑ ×ÚÑÔØ 1000 ÞÌÅÎÏ× ÒÑÄÁ.

6.2. ðÒÉÍÅÎÅÎÉÅ ÒÑÄÏ× ÄÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÙÈ ÕÒÁ×ÎÅ-
     ÎÉÊ

ðÕÓÔØ ÔÒÅÂÕÅÔÓÑ ÒÅÛÉÔØ ÏÂÙËÎÏ×ÅÎÎÏÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÐÅÒ-
×ÏÇÏ ÐÏÒÑÄËÁ y 0 = f (x, y) ÐÒÉ ÚÁÄÁÎÎÙÈ ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÕÓÌÏ×ÉÑÈ y = y0 ÐÒÉ
x = x0, ÔÏ ÅÓÔØ y(x0) = y0 . ðÒÅÄÐÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ y(x) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÅÛÅÎÉÅÍ ÄÁÎ-
ÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÒÉ ÕËÁÚÁÎÎÏÍ ÕÓÌÏ×ÉÉ. òÅÛÅÎÉÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ y(x) ÉÝÅÍ ×
×ÉÄÅ ÒÑÄÁ ôÅÊÌÏÒÁ × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ x = x0 .
                    y 0 (x0)              y 00 (x0)
(3) y(x) = y(x0 ) +          (x − x0) +             (x − x0)2 +
                        1!                     2!
                                    000
                                  y (x0)              3         y (n) (x0)
                               +          (x − x0) + . . . +               (x − x0)n + . . .
                                       3!                           n!
   ó×ÏÂÏÄÎÙÊ ÞÌÅÎ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ (3), ÔÏ ÅÓÔØ y(x0), ÉÚ×ÅÓÔÅÎ ÉÚ ÎÁÞÁÌØÎÏ-
ÇÏ ÕÓÌÏ×ÉÑ. úÎÁÞÅÎÉÅ y 0 (x0) ÍÏÖÎÏ ÐÏÌÕÞÉÔØ, ÅÓÌÉ ÐÏÄÓÔÁ×ÉÔØ ÎÁÞÁÌØÎÏÅ
ÕÓÌÏ×ÉÅ × ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ. úÎÁÞÅÎÉÅ y 00 (x0) ÍÏÖÎÏ ÐÏÌÕÞÉÔØ,
ÅÓÌÉ ÐÒÏÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ×ÁÔØ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ, Á ÚÁ-
ÔÅÍ ÐÏÄÓÔÁ×ÉÔØ ÕÖÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ y(x0) É y 0 (x0) ÐÒÉ x = x0. ðÏÓÔÕÐÁÑ
ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÔÏ ÅÓÔØ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÑ ÏÂÅ ÞÁÓÔÉ ÚÁÄÁÎÎÏ-
ÇÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÐÏ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ x, ÍÏÖÎÏ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ
ÎÁÈÏÄÉÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÑ y 000 (x0), y IV (x0) É ÔÁË ÄÁÌÅÅ.

Страницы