Ряды. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

48 §6. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÑ ÓÔÅÐÅÎÎÙÈ ÒÑÄÏ×
ðÒÉÍÅÒ 5. îÁÊÔÉ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ y(x) ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
y
0
= 2xy − x cos x, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÅ ÎÁÞÁÌØÎÏÍÕ ÕÓÌÏ×ÉÀ y(0) = 1.
òÅÛÅÎÉÅ: ôÁË ËÁË ÐÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ x
0
= 0, ÔÏ ÉÓËÏÍÏÅ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ y(x)
ÍÏÖÎÏ ÚÁÐÉÓÁÔØ ÔÁË
(4) y(x) = y(0) +
y
0
(0)
1!
x +
y
00
(0)
2!
x
2
+
y
000
(0)
3!
x
3
+ . . .
ó×ÏÂÏÄÎÙÊ ÞÌÅÎ y(0) = 1 ÐÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ. úÎÁÞÅÎÉÅ y
0
(0) ÎÁÈÏÄÉÍ, ÐÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ
× ÚÁÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÎÁÞÁÌØÎÙÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ:
y
0
(0) = 2 · 0 · 1 − 0 ·cos 0 = 0.
ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÑ ÄÁÎÎÏÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÎÁ-
ÈÏÄÉÍ y
00
(x), y
000
(x), y
IV
(x) É ÔÁË ÄÁÌÅÅ, Á ÚÁÔÅÍ ×ÙÞÉÓÌÑÅÍ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÐÒÏÉÚ-
×ÏÄÎÙÈ ÐÒÉ x = 0 :
y
00
(x) = 2y + 2xy
0
− cos x + x sin x, y
00
(0) = 1,
y
000
(x) = 2y
0
+ 2y
0
+ 2xy
00
+ sin x + sin x + x cos x =
= 4y
0
+ 2xy
00
+ 2 sin x + x cos x, y
000
(0) = 0,
y
IV
(x) = 4y
00
+ 2y
00
+ 2xy
000
+ 2 cos x + cos x − x sin x, y
IV
(0) = 9.
ðÏÄÓÔÁ×É× ÎÁÊÄÅÎÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ ÐÒÉ x = 0 × ÒÑÄ (4), ÐÏÌÕÞÉÍ
ÐÅÒ×ÙÅ ÞÌÅÎÙ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ ÉÓËÏÍÏÇÏ ÞÁÓÔÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ
y(x) = 1 +
0
1!
x +
1
2!
x
2
+
0
3!
x
3
+
9
4!
x
4
+ . . . = 1 +
1
2
x
2
+
3
8
x
4
+ . . .
ðÒÉÍÅÒ 6. îÁÊÔÉ ÐÅÒ×ÙÅ ÔÒÉ ÞÌÅÎÁ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ ÞÁÓÔ-
ÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ y(x) ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ y
00
= xy
0
−y + e
x
, ÓÏÏÔ×ÅÔ-
ÓÔ×ÕÀÝÅÅ ÎÁÞÁÌØÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ y(0) = 1, y
0
(0) = 0.
òÅÛÅÎÉÅ: ðÒÅÄÐÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÉÓËÏÍÏÅ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ (4).
éÚ ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÕÓÌÏ×ÉÊ ÕÖÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ y(0) É y
0
(0). ðÏÄÓÔÁ×É× ÜÔÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ×
ÚÁÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ×ÙÞÉÓÌÉÍ y
00
(0).
y
00
(0) = 0 · 0 − 1 + e
0
= 0.
ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÑ ÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØ
y
000
(x) = y
0
+ xy
00
− y
0
+ e
x
= xy
00
+ e
x
,
y
IV
(x) = y
00
+ xy
000
+ e
x
.
ôÅÐÅÒØ ×ÙÞÉÓÌÉÍ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ ÐÒÉ x = 0.
y
000
(0) = 1, y
IV
(0) = 1.
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
y(x) = 1 +
0
1!
x +
0
2!
x
2
+
1
3!
x
3
+
1
4!
x
4
+ . . . = 1 +
1
6
x
3
+
1
24
x
4
+ . . .
48                                                §6. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÑ ÓÔÅÐÅÎÎÙÈ ÒÑÄÏ×

   ðÒÉÍÅÒ 5. îÁÊÔÉ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ y(x) ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ
 0
y = 2xy − x cos x, ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÅ ÎÁÞÁÌØÎÏÍÕ ÕÓÌÏ×ÉÀ y(0) = 1.
   òÅÛÅÎÉÅ: ôÁË ËÁË ÐÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ x0 = 0, ÔÏ ÉÓËÏÍÏÅ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ y(x)
ÍÏÖÎÏ ÚÁÐÉÓÁÔØ ÔÁË
                             y 0 (0)    y 00 (0) 2 y 000 (0) 3
(4)            y(x) = y(0) +         x+         x +         x + ...
                                1!         2!          3!
ó×ÏÂÏÄÎÙÊ ÞÌÅÎ y(0) = 1 ÐÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ. úÎÁÞÅÎÉÅ y 0 (0) ÎÁÈÏÄÉÍ, ÐÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ
× ÚÁÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÎÁÞÁÌØÎÙÅ ÕÓÌÏ×ÉÑ:
                           y 0 (0) = 2 · 0 · 1 − 0 · cos 0 = 0.
ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÑ ÄÁÎÎÏÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÎÁ-
ÈÏÄÉÍ y 00 (x), y 000(x), y IV (x) É ÔÁË ÄÁÌÅÅ, Á ÚÁÔÅÍ ×ÙÞÉÓÌÑÅÍ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÐÒÏÉÚ-
×ÏÄÎÙÈ ÐÒÉ x = 0 :
      y 00 (x) = 2y + 2xy 0 − cos x + x sin x,                        y 00 (0) = 1,
      y 000 (x) = 2y 0 + 2y 0 + 2xy 00 + sin x + sin x + x cos x =
                = 4y 0 + 2xy 00 + 2 sin x + x cos x,                  y 000 (0) = 0,
      y IV (x) = 4y 00 + 2y 00 + 2xy 000 + 2 cos x + cos x − x sin x, y IV (0) = 9.
ðÏÄÓÔÁ×É× ÎÁÊÄÅÎÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ ÐÒÉ x = 0 × ÒÑÄ (4), ÐÏÌÕÞÉÍ
ÐÅÒ×ÙÅ ÞÌÅÎÙ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ ÉÓËÏÍÏÇÏ ÞÁÓÔÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ
                 0    1     0          9             1     3
       y(x) = 1 + x + x2 + x3 + x4 + . . . = 1 + x2 + x4 + . . .
                 1!   2!    3!         4!            2     8
   ðÒÉÍÅÒ 6. îÁÊÔÉ ÐÅÒ×ÙÅ ÔÒÉ ÞÌÅÎÁ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ ÞÁÓÔ-
ÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ y(x) ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ y 00 = xy 0 − y + ex , ÓÏÏÔ×ÅÔ-
ÓÔ×ÕÀÝÅÅ ÎÁÞÁÌØÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ y(0) = 1, y 0(0) = 0.
   òÅÛÅÎÉÅ: ðÒÅÄÐÏÌÏÖÉÍ, ÞÔÏ ÉÓËÏÍÏÅ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ (4).
éÚ ÎÁÞÁÌØÎÙÈ ÕÓÌÏ×ÉÊ ÕÖÅ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ y(0) É y 0 (0). ðÏÄÓÔÁ×É× ÜÔÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ×
ÚÁÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ×ÙÞÉÓÌÉÍ y 00 (0).
                              y 00 (0) = 0 · 0 − 1 + e0 = 0.
ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÑ ÄÁÎÎÏÅ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ, ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØ
                      y 000 (x) = y 0 + xy 00 − y 0 + ex = xy 00 + ex ,
                               y IV (x) = y 00 + xy 000 + ex .
ôÅÐÅÒØ ×ÙÞÉÓÌÉÍ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÈ ÐÒÉ x = 0.
                               y 000 (0) = 1,   y IV (0) = 1.
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
                    0     0    1    1                1    1
      y(x) = 1 +       x + x2 + x3 + x4 + . . . = 1 + x3 + x4 + . . .
                    1!    2!   3!   4!               6    24

Страницы