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МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

50 §6. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÑ ÓÔÅÐÅÎÎÙÈ ÒÑÄÏ×
É ÓÒÁ×ÎÉÔØ ÏÂßÅÍ ÐÒÏ×ÅÄÅÎÎÙÈ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ × ËÁÖÄÏÍ ÓÌÕÞÁÅ.
245)
∗
äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÐÒÉ ÐÒÉÂÌÉÖÅÎÎÏÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ
√
a
2
+ b, b > 0 ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ
√
a
2
+ b = a
1 +
b
2a
2
ÏÛÉÂËÁ ÎÅ ÐÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ
ÞÉÓÌÁ
b
2
8a
3
.
246)
∗
äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÐÒÉ ÐÒÉÂÌÉÖÅÎÎÏÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ
3
√
a
3
+ b, ab > 0 ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ
3
√
a
3
+ b = a
1 +
b
3a
3
ÏÛÉÂËÁ ÎÅ ÐÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ
ÞÉÓÌÁ
b
2
9a
5
.
247)
∗
ïÃÅÎÉÔØ ÏÛÉÂËÕ ÐÒÉ ÐÒÉÂÌÉÖÅÎÎÏÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ×ÙÒÁÖÅ-
ÎÉÑ
n
√
a
n
+ b, a > 0, b > 0 ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ
n
√
a
n
+ b = a +
b
na
n−1
.
îÁÊÔÉ n ÐÅÒ×ÙÈ ÞÌÅÎÏ× ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ
∞
P
n=0
a
n
(x −x
0
)
n
ÒÅÛÅÎÉÑ
ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ó ÚÁÄÁÎÎÙÍÉ ÎÁÞÁÌØÎÙÍÉ ÕÓÌÏ×ÉÑÍÉ:
248) y
0
= y
2
− x, x
0
= 0, y(0) = 1, n = 5.
249) y
0
= x
2
− y
2
, x
0
= 0, y(0) = 1, n = 5.
250) y
0
= x
3
+ y
2
, x
0
= 0, y(0) = 1, n = 5.
251) y
0
= x +
1
y
, x
0
= 0, y(0) = 1, n = 4.
252) y
0
= 2x + cos y, x
0
= 0, y(0) = 0, n = 4.
253) 2y
0
− (x + y)y − e
x
= 0, x
0
= 0, y(0) = 2, n = 4.
îÁÊÔÉ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ
x = 0 × ×ÉÄÅ ÓÔÅÐÅÎÎÏÇÏ ÒÑÄÁ Ó ÃÅÎÔÒÏÍ × ÎÕÌÅ:
254) xy
00
+ y
0
+ xy = 0, y(0) = 1, y
0
(0) = 0.
255) xy
00
+ y
0
− xy = 0, y(0) = 1, y
0
(0) = 0.
256) xy
00
− xy
0
− y = 0, y(0) = 0, y
0
(0) = 1.
257) x
2
y
00
+ xy
0
+ x
2
y = 0, y(0) = 1, y
0
(0) = 0.
50                                      §6. ðÒÉÌÏÖÅÎÉÑ ÓÔÅÐÅÎÎÙÈ ÒÑÄÏ×

É ÓÒÁ×ÎÉÔØ ÏÂßÅÍ ÐÒÏ×ÅÄÅÎÎÙÈ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÊ × ËÁÖÄÏÍ ÓÌÕÞÁÅ.
    245)∗ äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÐÒÉ ÐÒÉÂÌÉÖÅÎÎÏÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ
√                            √
                                                 
                                               b
   a2 + b, b > 0 ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ a2 + b = a 1 + 2 ÏÛÉÂËÁ ÎÅ ÐÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ
                                              2a
           2
         b
ÞÉÓÌÁ 3 .
        8a
    246)∗ äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÐÒÉ ÐÒÉÂÌÉÖÅÎÎÏÍ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ  ÚÎÁÞÅÎÉÑ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ
√                            √
                                                 
 3                                             b
   a3 + b, ab > 0 ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ 3 a3 + b = a 1 + 3 ÏÛÉÂËÁ ÎÅ ÐÒÅ×ÏÓÈÏÄÉÔ
                                              3a
           2
         b
ÞÉÓÌÁ 5 .
        9a
    247)∗ ïÃÅÎÉÔØ ÏÛÉÂËÕ ÐÒÉ ÐÒÉÂÌÉÖÅÎÎÏÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÉ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ×ÙÒÁÖÅ-
      √                                √               b
ÎÉÑ n an + b, a > 0, b > 0 ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÅ n an + b = a + n−1 .
                                                    na
                                                    ∞
                                                       an (x − x0)n ÒÅÛÅÎÉÑ
                                                    P
îÁÊÔÉ n ÐÅÒ×ÙÈ ÞÌÅÎÏ× ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ
                                                    n=0
ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ Ó ÚÁÄÁÎÎÙÍÉ ÎÁÞÁÌØÎÙÍÉ ÕÓÌÏ×ÉÑÍÉ:
   248) y 0 = y 2 − x, x0 = 0, y(0) = 1, n = 5.
   249) y 0 = x2 − y 2 , x0 = 0, y(0) = 1, n = 5.
   250) y 0 = x3 + y 2 , x0 = 0, y(0) = 1, n = 5.
                    1
   251) y 0 = x + , x0 = 0, y(0) = 1, n = 4.
                    y
          0
   252) y = 2x + cos y, x0 = 0, y(0) = 0, n = 4.
   253) 2y 0 − (x + y)y − ex = 0, x0 = 0, y(0) = 2, n = 4.
îÁÊÔÉ ÞÁÓÔÎÏÅ ÒÅÛÅÎÉÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÁÌØÎÏÇÏ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÑ × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ
x = 0 × ×ÉÄÅ ÓÔÅÐÅÎÎÏÇÏ ÒÑÄÁ Ó ÃÅÎÔÒÏÍ × ÎÕÌÅ:
   254) xy 00 + y 0 + xy = 0, y(0) = 1, y 0 (0) = 0.
   255) xy 00 + y 0 − xy = 0, y(0) = 1, y 0 (0) = 0.
   256) xy 00 − xy 0 − y = 0, y(0) = 0, y 0 (0) = 1.
   257) x2y 00 + xy 0 + x2y = 0, y(0) = 1, y 0 (0) = 0.

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