Ряды. - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

52 §7. òÑÄÙ æÕÒØÅ
ÇÄÅ
(8) a
n
=
2
l
l
Z
0
f(x) cos
nπx
l
dx, (n = 0, 1, 2, 3, . . .).
áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÅÓÌÉ ÆÕÎËÃÉÑ f(x) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÞÅÔÎÏÊ ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (−l; l),
ÔÏ ÐÏÌÕÞÁÅÍ
(9) f(x) ∼
∞
X
n=1
b
n
sin
nπx
l
,
ÇÄÅ
(10) b
n
=
2
l
l
Z
0
f(x) sin
nπx
l
dx, (n = 1, 2, 3, . . .).
ôÏÞËÁ x
0
∈ (−l; l) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÅÇÕÌÑÒÎÏÊ ÔÏÞËÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ f (x), ÏÐÒÅ-
ÄÅÌÅÎÎÏÊ ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (−l; l), ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ËÏÎÅÞÎÙÅ ÐÒÅÄÅÌÙ
(11) lim
x→x
0
+
f(x) = f(x
0
+ 0), lim
x→x
0
−
f(x) = f(x
0
− 0)
É
(12) f(x
0
) =
1
2
(f(x
0
+ 0) + f (x
0
− 0)) .
úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÔÏÞËÉ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÓÔÉ ÆÕÎËÃÉÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÅÅ ÒÅÇÕÌÑÒÎÙÍÉ
ÔÏÞËÁÍÉ.
æÕÎËÃÉÑ f (x) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ËÕÓÏÞÎÏ-ÇÌÁÄËÏÊ ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (−l; l), ÅÓÌÉ
1) ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï M ÔÏÞÅË ÒÁÚÒÙ×Á ÆÕÎËÃÉÉ f(x) ÎÁ (−l; l) ËÏÎÅÞÎÏ, É ËÁ-
ÖÄÁÑ ÔÏÞËÁ x
0
∈ M ÅÓÔØ ÔÏÞËÁ ÒÁÚÒÙ×Á ÐÅÒ×ÏÇÏ ÒÏÄÁ,
2) ÆÕÎËÃÉÑ f(x) ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÁ ×Ï ×ÓÅÈ ÔÏÞËÁÈ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁ (−l; l) ÚÁ
ÉÓËÌÀÞÅÎÉÅÍ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÔÏÞÅË M
1
(M ⊂ M
1
),
3) ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÉ x
0
∈ M
1
ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÐÒÅÄÅÌÙ
lim
h→0+
f(x
0
+ h) − f (x
0
+ 0)
h
, lim
h→0+
f(x
0
− 0) − f(x
0
− h)
h
.
þÔÏÂÙ ÒÑÄ æÕÒØÅ (1) ÆÕÎËÃÉÉ f(x) ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (−l; l) ÓÈÏÄÉÌÓÑ Ë ÆÕÎË-
ÃÉÉ f (x), ÚÁÄÁÎÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ f(x) ÎÁ (−l; l) ÄÏÌÖÎÁ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÔØ ÏÐÒÅ-
ÄÅÌÅÎÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ. óÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍ ÔÅÏÒÅÍÕ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ.
åÓÌÉ ÆÕÎËÃÉÑ f(x) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÕÓÏÞÎÏ-ÇÌÁÄËÏÊ ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (−l; l), ÔÏ ÄÌÑ
ÌÀÂÏÊ ÒÅÇÕÌÑÒÎÏÊ ÔÏÞËÉ x
0
∈ (−l; l) ÒÑÄ æÕÒØÅ (1) ÆÕÎËÃÉÉ f (x) × ÔÏÞËÅ x
0
52                                                                                 §7. òÑÄÙ æÕÒØÅ

ÇÄÅ
                            Zl
                        2                       nπx
(8)            an =                 f (x) cos       dx,     (n = 0, 1, 2, 3, . . .).
                        l                        l
                            0

   áÎÁÌÏÇÉÞÎÏ, ÅÓÌÉ ÆÕÎËÃÉÑ f (x) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÎÅÞÅÔÎÏÊ ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (−l; l),
ÔÏ ÐÏÌÕÞÁÅÍ
                                                 ∞
                                                 X              nπx
(9)                                   f (x) ∼          bn sin       ,
                                                 n=1
                                                                 l
ÇÄÅ
                                Zl
                      2                          nπx
(10)             bn =                f (x) sin       dx,        (n = 1, 2, 3, . . .).
                      l                           l
                                0

   ôÏÞËÁ x0 ∈ (−l; l) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÅÇÕÌÑÒÎÏÊ ÔÏÞËÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ f (x), ÏÐÒÅ-
ÄÅÌÅÎÎÏÊ ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (−l; l), ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ËÏÎÅÞÎÙÅ ÐÒÅÄÅÌÙ
(11)            lim f (x) = f (x0 + 0),                   lim f (x) = f (x0 − 0)
               x→x0 +                                   x→x0 −

É
                            1
(12)                    f (x0) =
                              (f (x0 + 0) + f (x0 − 0)) .
                            2
úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ×ÓÅ ÔÏÞËÉ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏÓÔÉ ÆÕÎËÃÉÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÅÅ ÒÅÇÕÌÑÒÎÙÍÉ
ÔÏÞËÁÍÉ.
   æÕÎËÃÉÑ f (x) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ËÕÓÏÞÎÏ-ÇÌÁÄËÏÊ ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (−l; l), ÅÓÌÉ
    1) ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï M ÔÏÞÅË ÒÁÚÒÙ×Á ÆÕÎËÃÉÉ f (x) ÎÁ (−l; l) ËÏÎÅÞÎÏ, É ËÁ-
       ÖÄÁÑ ÔÏÞËÁ x0 ∈ M ÅÓÔØ ÔÏÞËÁ ÒÁÚÒÙ×Á ÐÅÒ×ÏÇÏ ÒÏÄÁ,
    2) ÆÕÎËÃÉÑ f (x) ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÁ ×Ï ×ÓÅÈ ÔÏÞËÁÈ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁ (−l; l) ÚÁ
       ÉÓËÌÀÞÅÎÉÅÍ ËÏÎÅÞÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÔÏÞÅË M1 (M ⊂ M1 ),
    3) ÄÌÑ ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÉ x0 ∈ M1 ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÐÒÅÄÅÌÙ
             f (x0 + h) − f (x0 + 0)                          f (x0 − 0) − f (x0 − h)
         lim                         ,                    lim                         .
        h→0+            h                                h→0+            h
   þÔÏÂÙ ÒÑÄ æÕÒØÅ (1) ÆÕÎËÃÉÉ f (x) ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (−l; l) ÓÈÏÄÉÌÓÑ Ë ÆÕÎË-
ÃÉÉ f (x), ÚÁÄÁÎÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ f (x) ÎÁ (−l; l) ÄÏÌÖÎÁ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÔØ ÏÐÒÅ-
ÄÅÌÅÎÎÙÍ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ. óÆÏÒÍÕÌÉÒÕÅÍ ÔÅÏÒÅÍÕ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ.
   åÓÌÉ ÆÕÎËÃÉÑ f (x) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÕÓÏÞÎÏ-ÇÌÁÄËÏÊ ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (−l; l), ÔÏ ÄÌÑ
ÌÀÂÏÊ ÒÅÇÕÌÑÒÎÏÊ ÔÏÞËÉ x0 ∈ (−l; l) ÒÑÄ æÕÒØÅ (1) ÆÕÎËÃÉÉ f (x) × ÔÏÞËÅ x0

Страницы