Ряды. - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

54 §7. òÑÄÙ æÕÒØÅ
ðÏÌØÚÕÑÓØ ÆÏÒÍÕÌÏÊ (6) ÏÐÒÅÄÅÌÉÍ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ b
n
.
b
n
=
1
π
0
Z
−π
−2 sin nx dx +
π
Z
0
3 sin nx dx
=
=
1
π
2 cos nx
n
0
−π
+
−3 cos nx
n
π
0
!
=
1
nπ
(2 − 2 cos(−nπ) − 3 cos nπ + 3) =
=
5
nπ
(1 − cos nπ) =
5
nπ
2 sin
2
nπ
2
=
10
nπ
ÐÒÉ n ÎÅÞÅÔÎÏÍ,
0 ÐÒÉ n ÞÅÔÎÏÍ.
ðÏÄÓÔÁ×É× ÎÁÊÄÅÎÎÙÅ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ a
n
É b
n
× ÆÏÒÍÕÌÕ (4), ÐÏÌÕÞÉÍ ÓÌÅÄÕ-
ÀÝÅÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ × ÒÑÄ æÕÒØÅ ÄÁÎÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ f (x) ÎÁ ÚÁÄÁÎÎÏÍ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ
(−π; π)
f(x) =
1
2
+
10
π
sin x +
1
3
sin 3x +
1
5
sin 5x +
1
7
sin 7x + . . .
.
ðÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÐÒÉ ÌÀÂÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÉ x, ÉÓËÌÀÞÁÑ ÔÏÞËÕ
ÒÁÚÒÙ×Á x = 0, × ËÏÔÏÒÏÊ ÓÕÍÍÁ ÒÑÄÁ ÒÁ×ÎÁ
−2 + 3
2
=
1
2
, ÔÏ ÅÓÔØ ÒÁ×ÎÁ
ÓÒÅÄÎÅÍÕ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÏÍÕ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÄÁÎÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ ÓÌÅ×Á É ÓÐÒÁ×Á ÏÔ
ÔÏÞËÉ ÒÁÚÒÙ×Á.
-
6
0
x
y
−2 2
ðÒÉÍÅÒ 2. òÁÚÌÏÖÉÔØ × ÒÑÄ æÕÒØÅ ÆÕÎË-
ÃÉÀ f (x) ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (−2; 2), ÇÄÅ
f(x) =
0, ÅÓÌÉ −2 < x < 0,
x, ÅÓÌÉ 0 6 x < 2.
òÅÛÅÎÉÅ: äÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ×
æÕÒØÅ ÐÒÉÍÅÎÉÍ ÆÏÒÍÕÌÙ (2) É (3), ÐÏÄÓÔÁ×É×
× ÎÉÈ l = 2 É ÕÞÉÔÙ×ÁÑ ÐÒÉ ÜÔÏÍ, ÞÔÏ ÆÕÎËÃÉÑ
ÚÁÄÁÎÁ ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÉÍÉ ×ÙÒÁÖÅ-
ÎÉÑÍÉ ÄÌÑ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÏÂÌÁÓÔÅÊ ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ ÐÅ-
ÒÅÍÅÎÎÏÊ x.
a
0
=
1
2
0
Z
−2
0 dx +
2
Z
0
x dx
=
1
2
x
2
2
2
0
= 1,
54                                                                     §7. òÑÄÙ æÕÒØÅ

ðÏÌØÚÕÑÓØ ÆÏÒÍÕÌÏÊ (6) ÏÐÒÅÄÅÌÉÍ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ bn .

                 Z0                         Zπ
                                                             
         1
 bn =                 −2 sin nx dx +             3 sin nx dx =
         π
              −π                            0
                        0                       π !
     1       2 cos nx                 −3 cos nx    1
 =                            +                           =
                                                     (2 − 2 cos(−nπ) − 3 cos nπ + 3) =
     π           n       −π               n0      nπ
                                                              10
                           5                  5        nπ          ÐÒÉ n ÎÅÞÅÔÎÏÍ,
                        =    (1 − cos nπ) =     2 sin2    = nπ
                          nπ                 nπ         2       0 ÐÒÉ n ÞÅÔÎÏÍ.

ðÏÄÓÔÁ×É× ÎÁÊÄÅÎÎÙÅ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ an É bn × ÆÏÒÍÕÌÕ (4), ÐÏÌÕÞÉÍ ÓÌÅÄÕ-
ÀÝÅÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ × ÒÑÄ æÕÒØÅ ÄÁÎÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ f (x) ÎÁ ÚÁÄÁÎÎÏÍ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ
(−π; π)
                                                                  
                    1 10          1        1        1
             f (x) = +     sin x + sin 3x + sin 5x + sin 7x + . . . .
                    2  π          3        5        7

ðÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÐÒÉ ÌÀÂÏÍ ÚÎÁÞÅÎÉÉ x, ÉÓËÌÀÞÁÑ ÔÏÞËÕ
                                           −2 + 3    1
ÒÁÚÒÙ×Á x = 0, × ËÏÔÏÒÏÊ ÓÕÍÍÁ ÒÑÄÁ ÒÁ×ÎÁ         = , ÔÏ ÅÓÔØ ÒÁ×ÎÁ
                                              2      2
ÓÒÅÄÎÅÍÕ ÁÒÉÆÍÅÔÉÞÅÓËÏÍÕ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÄÁÎÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ ÓÌÅ×Á É ÓÐÒÁ×Á ÏÔ
ÔÏÞËÉ ÒÁÚÒÙ×Á.

  ðÒÉÍÅÒ 2. òÁÚÌÏÖÉÔØ × ÒÑÄ æÕÒØÅ ÆÕÎË-                                 y6
ÃÉÀ f (x) ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (−2; 2), ÇÄÅ
                       
                           0, ÅÓÌÉ −2 < x < 0,
         f (x) =
                           x, ÅÓÌÉ 0 6 x < 2.
                                                                                    -
                                                                  −2      0     2 x
   òÅÛÅÎÉÅ: äÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ×
æÕÒØÅ ÐÒÉÍÅÎÉÍ ÆÏÒÍÕÌÙ (2) É (3), ÐÏÄÓÔÁ×É×
× ÎÉÈ l = 2 É ÕÞÉÔÙ×ÁÑ ÐÒÉ ÜÔÏÍ, ÞÔÏ ÆÕÎËÃÉÑ
ÚÁÄÁÎÁ ÒÁÚÌÉÞÎÙÍÉ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÉÍÉ ×ÙÒÁÖÅ-
ÎÉÑÍÉ ÄÌÑ ÒÁÚÌÉÞÎÙÈ ÏÂÌÁÓÔÅÊ ÉÚÍÅÎÅÎÉÑ ÐÅ-
ÒÅÍÅÎÎÏÊ x.
                         0
                                  Z2
                                       
                                               2 2
                      1                    1
                         Z
                                               x
                 a0 =       0 dx + x dx =           = 1,
                      2                     2 2 0
                                       −2             0

Страницы