Ряды. - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

56 §7. òÑÄÙ æÕÒØÅ
ðÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÐÒÉ ÌÀÂÏÍ x ∈ (−1; 1).
-
6
0 x
y
−π
π
ðÒÉÍÅÒ 4. òÁÚÌÏÖÉÔØ × ÒÑÄ æÕÒØÅ ÆÕÎË-
ÃÉÀ f (x) = x ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (−π; π).
òÅÛÅÎÉÅ: ôÁË ËÁË ÄÁÎÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ Ñ×ÌÑÅÔ-
ÓÑ ÎÅÞÅÔÎÏÊ, ÔÏ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ a
n
= 0. ðÏÌÁÇÁÑ
l = π × ÆÏÒÍÕÌÅ (6), ÎÁÈÏÄÉÍ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ b
n
.
b
n
=
2
π
π
Z
0
x sin nx dx =
=
2
π
−
x cos nx
n
+
sin nx
n
2
π
0
=
= −
2
n
cos nπ =
2
n
ÐÒÉ n ÎÅÞÅÔÎÏÍ,
−
2
n
ÐÒÉ n ÞÅÔÎÏÍ.
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ × ÒÑÄ æÕÒØÅ ÄÁÎÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
x = 2
sin x −
1
2
sin 2x +
1
3
sin 3x −
1
4
sin 4x + . . .
.
æÕÎËÃÉÀ f(x), ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÕÀ × ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (0; l) É ÏÂÌÁÄÁÀÝÕÀ × ÎÅÍ
ÐÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÍÉ × ÔÅÏÒÅÍÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ (ÓÍ. Ó. 52), ÍÏÖÎÏ × ÜÔÏÍ
ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ ËÁË ÆÏÒÍÕÌÏÊ (7), ÔÁË É ÆÏÒÍÕÌÏÊ (9).
ðÒÉÍÅÒ 5. òÁÚÌÏÖÉÔØ × ÒÑÄ ÐÏ ËÏÓÉÎÕÓÁÍ ÆÕÎËÃÉÀ f(x) =
π
4
−
x
2
ÎÁ
ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (0; π).
òÅÛÅÎÉÅ: äÌÑ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ× æÕÒØÅ × ÒÑÄÅ (7) ÐÒÉÍÅÎÉÍ
ÆÏÒÍÕÌÕ (8).
a
0
=
2
π
π
Z
0
π
4
−
x
2
dx =
2
π
π
4
x −
x
2
4
π
0
= 0,
a
n
=
2
π
π
Z
0
π
4
−
x
2
cos nx dx =
1
2π
π
Z
0
(π − 2x) cos nx dx =
=
1
2π
(π − 2x)
sin nx
n
−
2 cos nx
n
2
π
0
=
1 − cos nπ
n
2
π
=
=
2 sin
2 nπ
2
n
2
π
=
2
n
2
π
ÐÒÉ n ÎÅÞÅÔÎÏÍ,
0 ÐÒÉ n ÞÅÔÎÏÍ.
56                                                                      §7. òÑÄÙ æÕÒØÅ

ðÏÌÕÞÅÎÎÏÅ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÐÒÉ ÌÀÂÏÍ x ∈ (−1; 1).

   ðÒÉÍÅÒ 4. òÁÚÌÏÖÉÔØ × ÒÑÄ æÕÒØÅ ÆÕÎË-                                  y6
ÃÉÀ f (x) = x ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (−π; π).
   òÅÛÅÎÉÅ: ôÁË ËÁË ÄÁÎÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ Ñ×ÌÑÅÔ-
ÓÑ ÎÅÞÅÔÎÏÊ, ÔÏ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ an = 0. ðÏÌÁÇÁÑ
l = π × ÆÏÒÍÕÌÅ (6), ÎÁÈÏÄÉÍ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ bn .
                                                            −π                            -
                           Zπ                                               0       π x
                       2
                bn =            x sin nx dx =
                       π
                           0
                                            π
                2   x cos nx sin nx
              =   −         +                       =
                π      n       n2               0
                                                                2
                                                2                n     ÐÒÉ n ÎÅÞÅÔÎÏÍ,
                                             = − cos nπ =
                                                n               − n2   ÐÒÉ n ÞÅÔÎÏÍ.
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ × ÒÑÄ æÕÒØÅ ÄÁÎÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ ÉÍÅÅÔ ×ÉÄ
                                                        
                         1        1        1
           x = 2 sin x − sin 2x + sin 3x − sin 4x + . . . .
                         2        3        4
  æÕÎËÃÉÀ f (x), ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÕÀ × ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (0; l) É ÏÂÌÁÄÁÀÝÕÀ × ÎÅÍ
ÐÒÉ×ÅÄÅÎÎÙÍÉ × ÔÅÏÒÅÍÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ Ó×ÏÊÓÔ×ÁÍÉ (ÓÍ. Ó. 52), ÍÏÖÎÏ × ÜÔÏÍ
ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ ËÁË ÆÏÒÍÕÌÏÊ (7), ÔÁË É ÆÏÒÍÕÌÏÊ (9).
  ðÒÉÍÅÒ 5. òÁÚÌÏÖÉÔØ × ÒÑÄ ÐÏ ËÏÓÉÎÕÓÁÍ ÆÕÎËÃÉÀ f (x) = π4 − x2 ÎÁ
ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (0; π).
  òÅÛÅÎÉÅ: äÌÑ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ× æÕÒØÅ × ÒÑÄÅ (7) ÐÒÉÍÅÎÉÍ
ÆÏÒÍÕÌÕ (8).

                                  Zπ                        π
                                                          x2
                                                    
                            2            π x      2 π
                       a0 =               −   dx =     x−       = 0,
                            π            4 2       π 4    4 0
                                  0
          Zπ                             Zπ
      2          π x                   1
 an =              −     cos nx dx =         (π − 2x) cos nx dx =
      π          4 2                   2π
          0                               0
                                                      π
                     1            sin nx 2 cos nx           1 − cos nπ
                  =      (π − 2x)         −               =            =
                    2π               n          n2      0      n2 π
                                              2 sin2 nπ
                                                            2
                                                      2             ÐÒÉ n ÎÅÞÅÔÎÏÍ,
                                           =             = n2 π
                                                  2
                                                 nπ           0 ÐÒÉ n ÞÅÔÎÏÍ.

Страницы