Ряды. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§7. òÑÄÙ æÕÒØÅ 57
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ
π
4
−
x
2
=
2
π
cos x +
cos 3x
3
2
+
cos 5x
5
2
+ . . .
.
ðÒÉÍÅÒ 6. òÁÚÌÏÖÉÔØ ÆÕÎËÃÉÀ f(x) = x ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (0; 1) × ÒÑÄ ÐÏ
ÓÉÎÕÓÁÍ.
òÅÛÅÎÉÅ: äÌÑ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ× æÕÒØÅ × ÒÑÄÅ (9) ÐÒÉÍÅÎÉÍ
ÆÏÒÍÕÌÕ (10).
b
n
= 2
1
Z
0
x sin(nπx) dx = 2
−x ·
cos(nπx)
nπ
+
sin(nπx)
n
2
π
2
1
0
=
= −
2 cos nπ
nπ
=
2
nπ
ÐÒÉ n ÎÅÞÅÔÎÏÍ,
−
2
nπ
ÐÒÉ n ÞÅÔÎÏÍ.
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ
x =
2
π
sin πx −
1
2
sin 2πx +
1
3
sin 3πx −
1
4
sin 4πx + . . .
.
÷ ÓÉÌÕ ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÊ ÐÅÒÉÏÄÉÞÎÏÓÔÉ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎËÃÉÊ, ÒÑÄ æÕ-
ÒØÅ (1), ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÊ ÆÕÎËÃÉÀ f(x) ÎÁ (−l; l), ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ × ËÁÖÄÏÍ
ÏÔÒÅÚËÅ [a; b] ⊃ (−l; l) ÆÕÎËÃÉÀ f
∗
(x), ÐÏÌÕÞÅÎÎÕÀ 2l ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÍ ÐÒÏ-
ÄÏÌÖÅÎÉÅÍ ÆÕÎËÃÉÉ f (x) Ó ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁ (−l; l) ÎÁ ×ÓÀ ÞÉÓÌÏ×ÕÀ ÐÒÑÍÕÀ ÚÁ
ÉÓËÌÀÞÅÎÉÅÍ ÔÏÞÅË ×ÉÄÁ (2m + 1)l, m ∈ Z. úÎÁÞÅÎÉÑ f
∗
((2m + 1)l), m ∈ Z
×ÙÂÉÒÁÀÔÓÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏ. åÓÌÉ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÙ ÚÎÁÞÅÎÉÑ f(l − 0) É f (−l + 0)
(ÓÍ. (11)), ÔÏ ÏÂÙÞÎÏ ÐÏÌÁÇÁÀÔ
f
∗
((2m + 1)l) =
1
2
(f(l − 0) + f (−l + 0)) , m ∈ Z.
ðÏÜÔÏÍÕ, ÅÓÌÉ ÆÕÎËÃÉÑ f
∗
(x) ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ (12) × ÔÏÞËÅ x = l, ÔÏ
ÒÑÄ (1) ÓÈÏÄÉÔÓÑ × ÔÏÞËÁÈ x = (2m + 1)l, m ∈ Z Ë ÆÕÎËÃÉÉ f
∗
((2m + 1)l).
úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ
òÁÚÌÏÖÉÔØ ÆÕÎËÃÉÀ f (x) × ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÒÑÄ æÕÒØÅ ÎÁ ÚÁÄÁÎÎÏÍ
ÏÔÒÅÚËÅ:
258) f(x) = x sin x ÎÁ [−π; π].
259) f(x) = x cos x ÎÁ [−π; π].
260) f(x) =
bx, −π < x 6 0,
ax, 0 < x < π
ÎÁ [−π; π].
§7. òÑÄÙ æÕÒØÅ                                                                      57

óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ
                                                     
               π x     2           cos 3x cos 5x
                 − =       cos x +       +       + ... .
                4 2    π             32     52
   ðÒÉÍÅÒ 6. òÁÚÌÏÖÉÔØ ÆÕÎËÃÉÀ f (x) = x ÎÁ ÉÎÔÅÒ×ÁÌÅ (0; 1) × ÒÑÄ ÐÏ
ÓÉÎÕÓÁÍ.
   òÅÛÅÎÉÅ: äÌÑ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ× æÕÒØÅ × ÒÑÄÅ (9) ÐÒÉÍÅÎÉÍ
ÆÏÒÍÕÌÕ (10).
          Z1                                                 1
                                      cos(nπx) sin(nπx)
 bn = 2        x sin(nπx) dx = 2 −x ·           +                =
                                         nπ         n2 π 2     0
          0
                                                      2
                                          2 cos nπ         nπ
                                                                 ÐÒÉ n ÎÅÞÅÔÎÏÍ,
                                      =−           =         2
                                             nπ         − nπ     ÐÒÉ n ÞÅÔÎÏÍ.
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÓÌÅÄÕÀÝÅÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ
                                                            
             2           1         1         1
         x=      sin πx − sin 2πx + sin 3πx − sin 4πx + . . . .
             π           2         3         4
   ÷ ÓÉÌÕ ÏÄÉÎÁËÏ×ÏÊ ÐÅÒÉÏÄÉÞÎÏÓÔÉ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎËÃÉÊ, ÒÑÄ æÕ-
ÒØÅ (1), ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÀÝÉÊ ÆÕÎËÃÉÀ f (x) ÎÁ (−l; l), ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÑÅÔ × ËÁÖÄÏÍ
ÏÔÒÅÚËÅ [a; b] ⊃ (−l; l) ÆÕÎËÃÉÀ f ∗(x), ÐÏÌÕÞÅÎÎÕÀ 2l ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÍ ÐÒÏ-
ÄÏÌÖÅÎÉÅÍ ÆÕÎËÃÉÉ f (x) Ó ÉÎÔÅÒ×ÁÌÁ (−l; l) ÎÁ ×ÓÀ ÞÉÓÌÏ×ÕÀ ÐÒÑÍÕÀ ÚÁ
ÉÓËÌÀÞÅÎÉÅÍ ÔÏÞÅË ×ÉÄÁ (2m + 1)l, m ∈ Z. úÎÁÞÅÎÉÑ f ∗((2m + 1)l), m ∈ Z
×ÙÂÉÒÁÀÔÓÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏ. åÓÌÉ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÙ ÚÎÁÞÅÎÉÑ f (l − 0) É f (−l + 0)
(ÓÍ. (11)), ÔÏ ÏÂÙÞÎÏ ÐÏÌÁÇÁÀÔ
                             1
                  f ∗ ((2m + 1)l) =
                               (f (l − 0) + f (−l + 0)) , m ∈ Z.
                             2
ðÏÜÔÏÍÕ, ÅÓÌÉ ÆÕÎËÃÉÑ f ∗(x) ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÅÔ ÕÓÌÏ×ÉÀ (12) × ÔÏÞËÅ x = l, ÔÏ
ÒÑÄ (1) ÓÈÏÄÉÔÓÑ × ÔÏÞËÁÈ x = (2m + 1)l, m ∈ Z Ë ÆÕÎËÃÉÉ f ∗((2m + 1)l).

úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ

òÁÚÌÏÖÉÔØ ÆÕÎËÃÉÀ f (x) × ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÒÑÄ æÕÒØÅ ÎÁ ÚÁÄÁÎÎÏÍ
ÏÔÒÅÚËÅ:
  258) f (x) = x sin x ÎÁ [−π; π].
  259) f (x) = x
               cos x ÎÁ [−π; π].
                  bx, −π < x 6 0,
  260) f (x) =                     ÎÁ [−π; π].
                  ax, 0 < x < π

Страницы