Ряды. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§2. äÏÓÔÁÔÏÞÎÙÅ ÐÒÉÚÎÁËÉ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÒÑÄÏ× 7
2.1. ðÅÒ×ÙÊ ÐÒÉÚÎÁË ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ
ðÕÓÔØ ÄÁÎÙ Ä×Á ÒÑÄÁ
(1)
∞
X
n=1
a
n
= a
1
+ a
2
+ a
3
+ . . . + a
n
+ . . .
É
(2)
∞
X
n=1
b
n
= b
1
+ b
2
+ b
3
+ . . . + b
n
+ . . .
åÓÌÉ ÒÑÄÙ (1) É (2) ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙ É ÐÒÉ ×ÓÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ n ×ÙÐÏÌÎÅÎÏ
ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï a
n
6 b
n
, ÔÏ
1) åÓÌÉ ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÒÑÄ (2), ÔÏ ÓÈÏÄÉÔÓÑ É ÒÑÄ (1);
2) åÓÌÉ ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ ÒÑÄ (1), ÔÏ ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ É ÒÑÄ (2).
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ðÒÉÚÎÁË ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÏÓÔÁÅÔÓÑ ×ÅÒÎÙÍ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÒÑÄÏ× (1)
É (2), ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÞÉÓÌÁ n
0
ÐÒÉ ×ÓÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ n > n
0
×ÙÐÏÌÎÅÎÏ
ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï 0 6 a
n
6 b
n
.
ðÒÉÍÅÒ 1. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÎÁ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÑÄ
1 +
1
2
+
1
3
2
+
1
4
3
+ . . . +
1
n
n−1
+ . . .
òÅÛÅÎÉÅ: óÒÁ×ÎÉÍ ÄÁÎÎÙÊ ÒÑÄ Ó ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÐÒÏÇÒÅÓÓÉÅÊ
(3) 1 +
1
2
+
1
2
2
+
1
2
3
+
1
2
4
+ . . . +
1
2
n−1
+ . . .
òÑÄ (3) ÓÈÏÄÉÔÓÑ, ÔÁË ËÁË ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌØ ÐÒÏÇÒÅÓÓÉÉ q =
1
2
(ÓÍ. ÐÒÉÍÅÒ 3 §1).
þÌÅÎÙ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÒÑÄÁ ÎÅ ÐÒÅ×ÏÓÈÏÄÑÔ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÞÌÅÎÏ× ÇÅÏÍÅÔÒÉ-
ÞÅÓËÏÊ ÐÒÏÇÒÅÓÓÉÉ (3), ÔÁË ËÁË
1
n
n−1
6
1
2
n−1
ÐÒÉ n ∈ N. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÐÏ
ÐÅÒ×ÏÍÕ ÐÒÉÚÎÁËÕ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÉÓÈÏÄÎÙÊ ÒÑÄ ÔÁËÖÅ ÓÈÏÄÉÔÓÑ.
ðÒÉÍÅÒ 2. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÎÁ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÑÄ
1 +
1
√
2
+
1
√
3
+ . . . +
1
√
n
+ . . .
òÅÛÅÎÉÅ: ïÂÝÉÊ ÞÌÅÎ ÄÁÎÎÏÇÏ ÒÑÄÁ a
n
=
1
√
n
ÂÏÌØÛÅ ÏÂÝÅÇÏ ÞÌÅÎÁ
ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÑÄÁ b
n
=
1
n
, ËÏÔÏÒÙÊ, ËÁË ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ. óÌÅÄÏ×Á-
ÔÅÌØÎÏ, ÄÁÎÎÙÊ ÒÑÄ ÔÁËÖÅ ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ.
ðÒÉÍÅÒ 3. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÎÁ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÑÄ
1 +
1
1 · 5
+
1
2 · 5
2
+
1
3 · 5
3
+ . . . +
1
n · 5
n
+ . . .
§2. äÏÓÔÁÔÏÞÎÙÅ ÐÒÉÚÎÁËÉ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÈ ÒÑÄÏ×                 7

2.1. ðÅÒ×ÙÊ ÐÒÉÚÎÁË ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ

ðÕÓÔØ ÄÁÎÙ Ä×Á ÒÑÄÁ
                   ∞
                   X
(1)                        an = a 1 + a 2 + a 3 + . . . + a n + . . .
                     n=1
É
                     ∞
                     X
(2)                        bn = b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n + . . .
                     n=1

åÓÌÉ ÒÑÄÙ (1) É (2) ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙ É ÐÒÉ ×ÓÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ n ×ÙÐÏÌÎÅÎÏ
ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï an 6 bn , ÔÏ
    1) åÓÌÉ ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÒÑÄ (2), ÔÏ ÓÈÏÄÉÔÓÑ É ÒÑÄ (1);
    2) åÓÌÉ ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ ÒÑÄ (1), ÔÏ ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ É ÒÑÄ (2).
   úÁÍÅÞÁÎÉÅ. ðÒÉÚÎÁË ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÏÓÔÁÅÔÓÑ ×ÅÒÎÙÍ ÄÌÑ ÌÀÂÙÈ ÒÑÄÏ× (1)
É (2), ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÏÇÏ ÞÉÓÌÁ n0 ÐÒÉ ×ÓÅÈ ÎÁÔÕÒÁÌØÎÙÈ n > n0 ×ÙÐÏÌÎÅÎÏ
ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï 0 6 an 6 bn .
   ðÒÉÍÅÒ 1. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÎÁ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÑÄ
                     1   1    1           1
                       + 2 + 3 + . . . + n−1 + . . .
                      1+
                     2 3     4          n
    òÅÛÅÎÉÅ: óÒÁ×ÎÉÍ ÄÁÎÎÙÊ ÒÑÄ Ó ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÐÒÏÇÒÅÓÓÉÅÊ
                       1   1   1   1            1
(3)               1+     + 2 + 3 + 4 + . . . + n−1 + . . .
                       2 2    2   2           2
òÑÄ (3) ÓÈÏÄÉÔÓÑ, ÔÁË ËÁË ÚÎÁÍÅÎÁÔÅÌØ ÐÒÏÇÒÅÓÓÉÉ q = 12 (ÓÍ. ÐÒÉÍÅÒ 3 §1).
þÌÅÎÙ ÉÓÈÏÄÎÏÇÏ ÒÑÄÁ ÎÅ ÐÒÅ×ÏÓÈÏÄÑÔ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÉÈ ÞÌÅÎÏ× ÇÅÏÍÅÔÒÉ-
                                 1      1
ÞÅÓËÏÊ ÐÒÏÇÒÅÓÓÉÉ (3), ÔÁË ËÁË nn−1 6 2n−1 ÐÒÉ n ∈ N. óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÐÏ
ÐÅÒ×ÏÍÕ ÐÒÉÚÎÁËÕ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÉÓÈÏÄÎÙÊ ÒÑÄ ÔÁËÖÅ ÓÈÏÄÉÔÓÑ.
   ðÒÉÍÅÒ 2. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÎÁ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÑÄ
                           1    1        1
                       1 + √ + √ + ...+ √ + ...
                            2    3        n
   òÅÛÅÎÉÅ: ïÂÝÉÊ ÞÌÅÎ ÄÁÎÎÏÇÏ ÒÑÄÁ an = √1n ÂÏÌØÛÅ ÏÂÝÅÇÏ ÞÌÅÎÁ
ÇÁÒÍÏÎÉÞÅÓËÏÇÏ ÒÑÄÁ bn = n1 , ËÏÔÏÒÙÊ, ËÁË ÉÚ×ÅÓÔÎÏ, ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ. óÌÅÄÏ×Á-
ÔÅÌØÎÏ, ÄÁÎÎÙÊ ÒÑÄ ÔÁËÖÅ ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ.
   ðÒÉÍÅÒ 3. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÎÁ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÑÄ
                      1   1       1             1
                1+      +    2
                               +     3
                                       + ...+        + ...
                     1·5 2·5     3·5          n · 5n

Страницы