Уравнения математической физики. Салехов Л.Г - 45 стр.

    131) pOKAZATX, ^TO W       R
                            FUNKCIQ E (x) = ; 41x cos kjxj TOVE QWLQETSQ
                                   3
\LEMENTARNYM REENIEM TOGO VE OPERATORA gELXMGOLXCA.
                                                                    j   j




   132) iSPOLXZUQ FUNKCII E3(x) I E 3(x), NAJDITE NETRIWIALXNOE RE-
ENIE ODNORODNOGO URAWNENIQ gELXMGOLXCA.

                                           R                    R
   133) nAJDITE \LEMENTARNOE REENIE BIGARMONI^ESKOGO OPERATORA
, GDE  = @x@ + @y@ + @z@ .
                 2        2        2




                               R
                  2        2        2

   rEENIE. eSLI h 2 C ( 3), A T 2 D ( 3), TO IMEET MESTO SOOT-
                                       1                    0



NOENIE: (hT ) = ht + T h + 2(grad h grad T ), GDE (grad h grad T ) |
SKALQRNOE PROIZWEDENIE W 3. tOGDA, POLAGAQ h = 12 r2, GDE r2 = x2 +y2+z 2,
A T = ;1=4r | \LEMENTARNOE REENIE OPERATORA lAPLASA , IMEEM:
                               1
                                1         1
                                                    
                         r2 ;        =; :

                                                        R
                           2   4r       4r
oTKUDA E (x y z ) = ;r=8:
   134) nAJDITE \LEMENTARNOE REENIE W 2 BIGARMONI^ESKOGO OPERATO-
RA .

                           R R R
    oBOB]ENNAQ ZADA^A kOI DLQ WOLNOWOGO URAWNENIQ.
   w DALXNEJEM TO^KU PROSTRANSTWA n+1 BUDEM OBOZNA^ATX (x t), GDE
                                                                                RR
                                                                                     R
x = (x1 2 : : :  xn ) 2 n t 2 . nAPOMNIM, ^TO MNOVESTWO IZ n+1, SO-

                                                                            R
DERVA]EESQ W OBRAZE PRI SDWIGE POLUPROSTRANSTWA f(x t) 2 n+1j t > 0g,
NAZYWAETSQ PARABOLI^ESKIM MNOVESTWOM, A WSQKOE MNOVESTWO IZ n+1,
SODERVA]EESQ W OBRAZE PRI SDWIGE KONUSA f(x t) 2 n+1j at > jxjg, GDE a2

             R
| KO\FFICIENT, WHODQ]IJ W DALAMBERIAN a = @t@ ;a2 , NAZYWAETSQ GI     2
                                                                        2                -

PERBOLI^ESKIM MNOVESTWOM. iZWESTNO, ^TO MNOVESTWO A OBOB]ENNYH
FUNKCIJ NA n+1 S GIPERBOLI^ESKIMI NOSITELQMI, SNABVENNOE OPERACI-
EJ SWERTKA, QWLQETSQ SWERTO^NOJ ALGEBROJ, A MNOVESTWO M OBOB]ENNYH

                      R
FUNKCIJ S PARABOLI^ESKIMI NOSITELQMI QWLQETSQ SWERTO^NYM MODULEM
NA ALGEBRE A, ILI A ESTX ALGEBRA SWERTO^NYH OPERATOROW NA M.
R  kONUS f(x t) 2 n+1j at > jxjg NAZYWA@T KONUSOM WOLN BUDU]EGO W

                                           R
  n+1 u DALAMBERIANA  = @ ; a2   n = 1 2 3, SU]ESTWUET I PRITOM
                                           2
     .                       a @t      n   2
EDINSTWENNOE \LEMENTARNOE REENIE En(x t) S NOSITELEM, SODERVA]IM-
SQ W KONUSE WOLN BUDU]EGO W n+1. oNO IMEET WID:
                        E1(x t) = 21a Y (at ; x) n = 1
                                  1 pY (at ; jxj)  n = 2
                      E2(x t) = 2a
                                        (at)2 ; jxj2
                                               45