Уравнения математической физики. Салехов Л.Г - 51 стр.

   152) pOKAZATX GIPO\LLIPTI^NOSTX OPERATORA kOI-rIMANA, PRIWLE-
KAQ EGO \LEMENTARNOE REENIE.

           R
    nX@TONOWY POTENCIALY.
   pUSTX E | KAKOE-NIBUDX \LEMENTARNOE REENIE OPERATORA lAPLASA,
A T 2 E ( n), TO ESTX T | OBOB]ENNAQ FUNKCIQ S KOMPAKTNYM NOSITE-
       0




                                                              R
LEM. tOGDA IZWESTNO, ^TO FUNKCIQ U = E  T QWLQETSQ REENIEM URAW-

                                                            R
NENIQ U = T , A SWERTKU U = E  T NAZYWA@T POTENCIALOM OBOB]ENNOJ

                           R
FUNKCII T . nAPOMNIM, ^TO E ESTX FUNKCIQ IZ KLASSA C ( n n f0g).        1



oNA QWLQETSQ SUMMOJ NEKOTOROJ GARMONI^ESKOJ W n FUNKCII (I SLEDO-
WATELXNO, IZ KLASSA C ( n)) I FUNKCII E0, GDE
                       1




      E0 (x) = ; (n ; 2)1! jxjn 2  n > 3 E0(x) = 21 ln jxj n = 2:
                          n        ;




  w SLU^AE, KOGDA POTENCIAL U BERETSQ OTNOSITELXNO E0, TO ON NA-
ZYWAETSQ NX@TONOWYM POTENCIALOM, A grad U NAZYWA@T NX@TONOWYM
PRITQVENIEM.
  iME@T MESTO SLEDU@]IE SWOJSTWA.

                   R
  I.eSLI f | FUNKCIQ S KOMPAKTNYM NOSITELEM, IZMERIMAQ I SU-
]ESTWENNO OGRANI^ENNAQ, TO EE OB_EMNYJ POTENCIAL U QWLQETSQ FUNK-

                                                            R
CIEJ KLASSA C ( n), PREDSTAWIMOJ W WIDE:
               1


                             Z
                   U (a) =        E0(a ; x)f (x)dx a 2       n



                                                   R
                             Rn
        @ U (a) = Z @ E (a ; x)f (x)dx a 2
I
                                                       n   i = 1 2 : : :  n:
                          0
       @ai           @a i
                   R
                   n




      R
   N.B.

                                                                                   R
   1) wOOB]E GOWORQ, OB_EMNYJ POTENCIAL U NE QWLQETSQ FUNKCIEJ KLAS-
SA C 2( n).

        R
   2) eSLI  | OTKRYTOE MNOVESTWO, OTNOSITELXNO KOMPAKTNOE W n, A

    R
FUNKCIQ g SU]ESTWENNO OGRANI^ENA W  I f | PRODOLVENIE FUNKCII

          R
g NULEM NA n n , TO f QWLQETSQ FUNKCIEJ, WOOB]E GOWORQ, RAZRYWNOJ
NA n. oDNAKO, EE OB_EMNYJ POTENCIAL QWLQETSQ FUNKCIEJ NEPRERYWNO

      R
DIFFERENCIRUEMOJ NA n, PRI^EM U = g W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNK-
CIJ NA , A TAKVE U = 0 W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ NA DOPOLNENII
 DO n. |TI REZULXTATY HOROO IZWESTNY W TEORETI^ESKOJ FIZIKE.
                                        51