Уравнения математической физики. Салехов Л.Г - 8 стр.

GDE df=dx | PROIZWODNAQ W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ, A f | PRO-         0



IZWODNAQ W KLASSI^ESKOM SMYSLE 0 | SKA^OK FUNKCII f (x) W TO^KE x0,
TO ESTX 0 = f (x0 + 0) ; f (x0 ; 0), A (x ; x0) | MERA dIRAKA (FUNKCIQ
dIRAKA) S NOSITELEM W TO^KE x0.
   N.B. w ^ASTNOSTI, ESLI FUNKCIQ f (x) NEPRERYWNA, TO 0 = 0 I df=dx =

                                                          R
f (x), TO ESTX PROIZWODNAQ W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ SOWPADAET S
 0




                                   R
PROIZWODNOJ W KLASSI^ESKOM SMYSLE.
   13) pUSTX f (x) | FUNKCIQ, OPREDELENNAQ NA , NEPRERYWNO DIFFE-
RENCIRUEMAQ NA MNOVESTWE n Nj=1faj g, GDE N | KONE^NOE ^ISLO. pUSTX
f I EE PROIZWODNAQ f IME@T W TO^KAH a1 a2 : : :  aN RAZRYWY PERWOGO
                         0



RODA. pOKAZATX, ^TO
                              d (T ) = T + XN
                                               j aj 
                             dx f       f    0


                                           j=1
GDE j = f (aj + 0) ; f (aj ; 0) | SKA^OK FUNKCII f W TO^KE aj  aj |
MERA dIRAKA S NOSITELEM W TO^KE aj .
   N.B. nAPOMNIM, ^TO REGULQRNAQ OBOB]ENNAQ FUNKCIQ OBOZNA^AETSQ

                               R                     N
SIMWOLOM f ILI Tf , GDE f | OBY^NAQ FUNKCIQ, POROVDA@]AQ REGULQR-

                             R
NU@ OBOB]ENNU@ FUNKCI@.
   14) pUSTX f (x) OPREDELENA NA I IMEET k (k 2 ) NEPRERYWNYH
PROIZWODNYH WS@DU NA , ISKL@^AQ TO^KU x0, W KOTOROJ FUNKCIQ I WSE
EE PROIZWODNYE DO k-GO PORQDKA WKL@^ITELXNO IME@T RAZRYWY PERWOGO

                                                 N N RN R
RODA. pUSTX Sj (j = 0 1 2 : : :  k ; 1) | SKA^KI FUNKCII f (j) (x) W TO^KE
x0. nAJTI k-U@ PROIZWODNU@ W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ.
   15) pOKAZATX, ^TO xn(nx)k = 0 8n 2 := n 0 x 2 .

         R
   16) pOKAZATX, ^TO xn dxd n k (x) = 0 k = 1 2 : : :  n 8n 2  x 2 :
                                                 
                               ;

                                                                    


   17) pOKAZATX, ^TO OB]EE REENIE URAWNENIQ xnU = 0 W PROSTRANSTWE
                               ;




D ( ) IMEET WID:
     0



                                      dX
                                       n 1
                                        k
                                        ;


                             U = Ck dxk (x)

                                                              R N
                                k=0
GDE Ck | PROIZWOLXNYE POSTOQNNYE    .

                     R
   18) pOKAZATX, ^TO x dxn (x) = (;1)nn!(x) x 2  8n 2 :
                       n d n

   19) wY^ISLITX PROIZWODNU@ W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ OT FUNK-
CII f (x) = jxj x 2 .
   20) wY^ISLITX dxd fsgn xg.
                                             8