ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
ведению длины кривой на длину окружности, описываемой ее центром
тяжести.
Пусть дуга плоской кривой А В (рис. 7.11) образует
при вращении вокруг оси z некоторую поверхность. Вы-
делим элемент dl этой кривой. Площадь пояска, образо-
ванного вращением этого элемента, будет:
dS = Inxdl,
где х - расстояние элемента до оси вращения.
Чтобы найти площадь поверхности вращения, не-
обходимо вычислить интеграл
(7.4.1)
Рис. 7.11
S
= Injxdl .
/
Но известно, что
jxdl
= х
с
1,
(7.4.2)
где / - длина дуги АВ ;х
с
- координата центра тяжести дуги АВ.
Следовательно, согласно
(7.4.1)
и
(7.4.2),
S
=
2тгх
с
1
.
(7.4.3)
что и доказывает первую теорему Паппа-Гульдина.
Формула
(7.4.3)
позволяет определять координаты центра тяжести плоских
кривых:
S
х
с
=
2ж1
(7.4.4)
Например, для полуокружности получим: S =
Акт
- так как в результате
ее вращения получается сфера; / = ю\ следовательно, х
с
-
тг
Теорема 2. Объем тела, полученного вращением плоской фигуры вокруг
оси, лежащей в ее плоскости и не пересекающей ее, равен произведению
площади фигуры на длину окружности, описанной ее центром тяжести.
Выделим элемент dS в пределах плоской фигуры
/- (рис.
7.12).
При вращении этого элемента вокруг оси z
получается кольцо, объем которого находится по фор-
муле:
dV =
2mdS,
N
где x - расстояние элемента до оси z.
Объем тела вращения найдем интегрированием
Рис. 7.12
V =
2n\xdS
.
(7.4.5)
S
60
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 58
- 59
- 60
- 61
- 62
- …
- следующая ›
- последняя »
