ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
8.4.
Скорость
и
ускорение точки
в
полярных координатах
Пусть движение точки происходит
в
плоскости
Оху.
Кинематические
уравнения движения точки
в
декартовых осях заданы:
х = x(t);y = y(t).
Заданы
также
и
полярные координаты точки:
г =
r(t),q>
=
(p{t).
Пусть ~ё
г
-
единичный
вектор (орт), направленный вдоль радиус-вектора
7
точки
М
относительно
точки
О в
сторону возрастания
7, а
~ё —
единичный вектор трансверсального
направления, получающийся поворотом вектора
е
г
на
угол
к /2
против часовой стрелки.
В системе координат
Оху
векторы
~ё
г
и ё ,
если
использовать матричную форму, записываются сле-
дующим образом (рис.
8.6):
Т"
e
r
= (cos#>,sin#>)V = (-sin
<р,
cos
<р),
(8.4.1)
т
так
как
х
= г cos
<р,
у = г sin
(р
,
X
то
в
системе координат
Оху
получим:
Рис.
8.6
v
= (х, у) - (г cos (р-гф sin
<р,
г sin
<р
+ гф cos
<р,
а
т
=
(х,
у)
=
((г
-
гф
2
)
cos
(р - (r#?+2/чр) sin
<р,
(г
-
гф
2
)
sin <р+(r^
+
2r^)
cos
(8.4.2)
(8.4.3)
Проекции
v
f
. и на
радиальную
и
транс вере ал ьную
оси
представляют
со-
бой радиальную
и
трансверсальную скорости, которые, согласно
(8.4.1) и
(8.4.2),
являются следующими скалярными произведениями:
v
r
= (v
•
e
r
)
= (rcos(p
- r^sin
(p)cos(p +
(r sin +
r<£>cos#?)sin
(p
= r, (8.4.4)
v
= (v
•
e ) =
-(rcos#>
- r<^>sin(p)sin<p + (rsin(p +
coscp)cos=
r#>,
(8.4.5)
Для проекций ускорения осуществим аналогичные выкладки, найдем:
а
г
=(а-е
г
) = г-гф
г
\
<><
р
=(а-е
</>
)
=
гф
+
2гф
.
Переход
от
системы осей
Оху к
осям Ме
г
е
<р
можно осуществить
с
помощью
(8.4.6)
(8.4.7)
матрицы поворота
на
угол
(р:
А
=
cos
<р,
—
sin
(р
sin
cos<p
(8.4.8)
при этом:
X
=
А
V
v
ш
У
V.
(8.4.9)
•
№
X
а
=
А
Г
а
у
(8.4.10)
67
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 65
- 66
- 67
- 68
- 69
- …
- следующая ›
- последняя »
