Опорный конспект лекций по микроэкономике. Савицкая Е.В. - 11 стр.

    (2.2)        L = U ( x , x ,..., x ) − λ ⋅ ( p ⋅ x
                            1   2     n           1   1
                                                          + p2 ⋅ x2 + ... + pn ⋅ xn − I )

Необходимым условием (или условием первого порядка) максимума функции является равенство
нулю всех её частных производных:
                        ∂L ∂U ( x1 ,..., xn )
                            =                 − λ ⋅ p1 = 0
                        ∂x1      ∂x1
                        ∂L ∂U ( x1 ,..., xn )
                            =                 − λ ⋅ p2 = 0
                        ∂x2     ∂x2

      (2.3)             M
                        ∂L ∂U ( x1 ,..., xn )
                            =                 − λ ⋅ pn = 0
                        ∂xn     ∂xn
                        ∂L
                           = I − p1 x1 − p2 x2 − ... − pn xn = 0
                        ∂λ
                                                      *    *      *
Решив эту систему уравнений, мы найдём значения x1 , x2 ,..., xn , которые являются оптимальными
количествами каждого из благ, то есть такими количествами, которые максимизируют полезность
индивида от потребления данного товарного набора при заданном бюджетном ограничении. Именно
на эти количества каждого блага наш потребитель предъявит спрос на рынке.
     Разумеется, условие первого порядка является лишь необходимым, но не достаточным
условием максимума функции. Мы значительно облегчим задачу, введя предпосылку о строгой
выпуклости отношения предпочтения. Если данная предпосылка выполняется, то условие первого
порядка позволяет определить действительно максимум, а не минимум функции.

                  ∂U ∂x1 p1
    (2.4)               =
                  ∂U ∂x2 p2

Напомним, что в левой части уравнения (2.4) записано соотношение предельных полезностей –
MU 1
     , которое есть не что иное, как значение предельной нормы замещения в оптимальной точке.
MU 2
Отсюда имеем:

                  MU1          p
    (2.5)              = MRS = 1 .
                  MU 2        p2
Аналогичную итерацию можно осуществить для любой пары уравнений из системы (2.5), и в
общем случае получим: