Опорный конспект лекций по микроэкономике. Савицкая Е.В. - 14 стр.

     Любая задача максимизации функции с ограничением связана со своей двойственной
проблемой – задачей минимизации функции (ею является ограничение из первой задачи) при
заданном ограничении (им становится целевая функция из первоначальной задачи). Так, например,
экономисты исходят из того, что индивиды максимизируют свою полезность при заданном
бюджетном ограничении. Это и есть первичная проблема потребителя. Двойственной к ней
проблемой является минимизация расходов, которые необходимо сделать потребителю для того,
чтобы достичь некоторого заданного уровня полезности.
Формализация проблемы минимизации расходов потребителя. При построении данной модели
используются практически те же самые предпосылки, что и в задаче максимизации полезности при
заданном бюджетном ограничении.

     Пусть требуемый уровень полезности U ( x1 ,..., xn ) = U > U (0,...,0) = 0 . Пусть наша задача
имеет решение в виде «внутреннего» минимума, при котором потребитель покупает только
положительные, а не нулевые количества всех благ из товарного набора, то есть xi > 0 ∀i .

     Проблема минимизации расходов при заданном уровне полезности U имеет следующий вид:

            min ( p1 x1 + p2 x2 + ... + pn xn ) при условии, что
           x1 ,..., xn

 (2.12)
                             U ( x1 ,..., xn ) = Ū
     Очевидно, что эта задача аналогична первичной проблеме максимизации полезности, но
     целевые функции и ограничения у этих двойственных проблем «меняются местами». Здесь мы
     снова имеем дело с задачей на условный экстремум. Поэтому выпишем функцию Лагранжа:

 (2.13)    L=            p1 ⋅ x1 + p2 ⋅ x2 + ... + pn ⋅ xn − λ ⋅ (U ( x1 ,..., xn ) − U )
Необходимым условием (или условием первого порядка) минимума этой функции является
равенство нулю всех её частных производных:

                         ∂L             ∂U ( x1 ,..., xn )
                             = p1 − λ ⋅                    =0
                         ∂x1                  ∂x1
                         ∂L             ∂U ( x1 ,..., xn )
                             = p2 − λ ⋅                    =0
                         ∂x2                 ∂x2
 (2.14)                  M
                         ∂L             ∂U ( x1 ,..., xn )
                             = pn − λ ⋅                    =0
                         ∂xn                 ∂xn
                         ∂L
                            = U − U ( x1 ,..., xn ) = 0
                         ∂λ