Идентификация объектов управления. Семенов А.Д - 177 стр.

                              1     2πn    ⎛    2n − N ⎞       πn
                   r (n) =      sin     − 2⎜1 −        ⎟ sin 2    , n = 0, ..., N − 1.
                              π      N     ⎝      N    ⎠       N


      Таким образом, для нахождения оптимального окна Wm(λ) в частотной
области необходимо решить интегральное уравнение (8.10), в левой части
которого стоит известная функция R(λ), а затем с помощью обратного
преобразования Фурье определить оптимальное окно wm(n) во временной
области. Интегральное уравнение (8.10) может быть решено численными
методами, например, с помощью итерационного алгоритма

                                                                           m −1⎞ m − 1 [ n]
                                                               [ n] ⎛
                                                      2π
                    [ n + 1]
                   Wm        ( λ)    = R( λ )      ∫ ...0 ∫   Wm      − ∑ λ i ⎟⎟ ∏W m ( λ i )dλ i ,
                                                                    ⎜⎜ λ                                         (8.11)
                                                                    ⎝   i =1 ⎠ i =1



где W m[ n ] ( λ) − приближение к Wm(λ) на n-й итерации. Заметим, что кратный
интеграл в знаменателе выражения (8.11) легко может быть вычислен с
помощью алгоритма БПФ. Для этого необходимо определить обратное
преобразование Фурье функции W m[ n ] , возвести полученный оригинал в m-ю
степень и вновь вычислить преобразование Фурье.
      Исследование              состоятельности                   оценки         H$ m ( ω1 , . . . , ω m )   начнем   с
определения ковариаций многомерных периодограмм (8.2). На основании
кумулянтных свойств конечного преобразования Фурье можно показать что:


           {
       cov I   l
               y m x ... x
                           ( ω1 ,... , ω m ), I yl ∗ x ... x ( ω m +1 ,... , ω 2m )
                                                   m
                                                                                      }=
  ⎧W 12 (ω 1 − ω 2 )S y (ω 1 )S x (ω 2 ) + W 12 (ω 1 + ω 2 )S y x (ω1 )S y∗ x (ω 2 ), m = 1;
  ⎪⎪                   1                                       1           1

 =⎨      ⎛m                  ⎞        ⎛m ⎞                                                   (8.12)
   ⎪W m ⎜⎜ ∑ (ω i − ω m+ i )⎟⎟ S y m ⎜⎜ ∑ ω i ⎟⎟ ∑ ∏W m (ω i + ω j )S x (ω i ), m ≥ 2,
   ⎪⎩    ⎝ i =1              ⎠        ⎝ i =1 ⎠


где W m( ω) − преобразование Фурье квадрата wm
                                             2
                                               (n) временного окна.

Суммирование в (8.12) выполняется по различным разбиениям совокупности