Идентификация объектов управления. Семенов А.Д - 178 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

{1, ..., m, −(m + 1), ..., −2m} на пары, а произведение − по всем парам в каждом
разбиении, причем полагается, что ω
-k
= −ω
k
.
Полученная статистика периодограмм позволяет определить дисперсию
оценок
$
( ,..., )H
mm
ωω
1
, характеризующую случайную составляющую
погрешности вычисления ядер Винера. Периодограммы, вычисленные по
различным отрезкам временных рядов, являются асимптотически
независимыми случайными величинами, т. е.
{}
cov ( ,..., ), ( ,..., ) ,
... ...
N
mm
II ll
yxx
l
m
yxx
l
mm
→∞
∗
+
=≠ωω ω ω
11212
0 .
Поэтому для достаточно больших N на основании (8.3) можно записать
{}
{
}
D
$
( ,..., )
D ( ,..., )
(! ) ( ) ( )
...
H
I
Lm S S
mm
yxx
l
m
mx xm
m
ωω
ωω
ωω
1
1
22
1
2
=
⋅⋅Θ K
, (8.13)
где D{•} означает дисперсию случайной величины.
Для вычисления дисперсии периодограммы
I
yxx
l
m
m
...
( ,..., )ωω
1
положим
аргументы ω
m+1
, ..., ω
2m
в (8.12) равными соответственно
ω
1
, ..., ω
m
. Подставляя
результат в (8.13), получаем:
{}
D
$
(,, )
()
()
()(), ;
()()
(! ) ( ) ( )
,,
H
L
ES
S
WH m
ES W
Lm S S
m
mm
y
x
my m m i j
mx xm
m
ωω
ω
ω
ωω
ωω ωω
ωω
1
1
2
1
1
2
1
1
2
111
2
1
2
1
1
21
2
1
K
K
K
=
+
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
=
++ +
⋅⋅
≥
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
∏
∑
Θ
Θ
(8.14)
где E
m
− энергия окна w
m
(n), равная
wn
m
2
()
∑
. Суммирование в (8.14)
выполняется по различным разбиениям совокупности {1, ..., m, −1, ..., −m} на
пары, а произведение − по всем парам в каждом разбиении.
Практический интерес представляет определение дисперсии оценок
$
(,..., )Hk k
mm1
, вычисленных на сетке частот с шагом Δω. Поскольку функция 
{1, ..., m, −(m + 1), ..., −2m} на пары, а произведение − по всем парам в каждом
разбиении, причем полагается, что ω-k = −ωk .
      Полученная статистика периодограмм позволяет определить дисперсию
оценок      H$ m ( ω 1 , . . . , ω m ) ,     характеризующую                       случайную                составляющую
погрешности вычисления ядер Винера. Периодограммы, вычисленные по
различным          отрезкам                временных             рядов,            являются              асимптотически
независимыми случайными величинами, т. е.

                 cov I
                N →∞
                       {    l
                            y m x ... x
                                        ( ω1 ,... , ω m ), I yl ∗ x ... x ( ω m +1 ,... , ω 2m )
                                                                m
                                                                                                   } = 0,       l1 ≠ l 2 .


      Поэтому для достаточно больших N на основании (8.3) можно записать



                       {
                    D H$m ( ω1 ,... , ω m ) =      }
                                                              D I{   l
                                                                     y m x ... x
                                                                                 ( ω1 ,... , ω m )   }      ,                (8.13)
                                                         L (m ! Θm)      2
                                                                             S x2 ( ω1 )⋅K ⋅S x2 ( ω m )


где D{•} означает дисперсию случайной величины.
      Для вычисления дисперсии периодограммы I yl                                                 ( ω1 ,... , ω m ) положим
                                                                                      m x ... x


аргументы ωm+1, ..., ω2m в (8.12) равными соответственно ω1, ..., ωm. Подставляя
результат в (8.13), получаем:
                        ⎧ 1 ⎛ E 2S ( ω )                                  ⎞
                        ⎪ ⎜ 1 y1 1 + W 12 ( 2ω1) H 1( ω1) 2 ⎟ , m = 1;
                        ⎪⎪ L ⎜⎝ Θ12S x ( ω1)                              ⎟
  {$
                        }
D H m ( ω1, K , ω m ) = ⎨
                         ⎪ E mS y m ( ω1 + K + ω m ) ∑ ∏W m ( ωi + ω j )
                                                                          ⎠
                                                                                                                       (8.14)
                         ⎪                                                  , m ≥ 2,
                         ⎪⎩       L ( m ! Θm ) 2 S x ( ω1)⋅K ⋅S x ( ω m )


где Em − энергия окна wm(n), равная                                   ∑ wm2 (n) .        Суммирование в (8.14)

выполняется по различным разбиениям совокупности {1, ..., m, −1, ..., −m} на
пары, а произведение − по всем парам в каждом разбиении.
      Практический интерес представляет определение дисперсии оценок
H$m ( k1,... , k m ) , вычисленных на сетке частот с шагом Δω. Поскольку функция

Страницы