Идентификация объектов управления. Семенов А.Д - 179 стр.

W m( ω) при N → ∞ приближается к дельта-функции δ(ω), величину N всегда

можно выбрать таким образом, чтобы значениями W m( ω) за пределами
частотного диапазона [−Δω, Δω] можно было пренебречь. Тогда сумма в (8.14)
будет включать в себя лишь такие произведения, которым соответствуют
разбиения на пары (ki, −ki), содержащие аргументы, равные по абсолютному
значению и противоположные по знаку. Если среди совокупности {k1, ..., km}
нет равных по модулю аргументов, то сумма в (8.14) содержит лишь один
отличный от нуля член, соответствующий разбиению (1, −1), ..., (m, −m), и
равна E mm . Допустим теперь, что совокупность аргументов {k1, ..., km} ядра
состоит из n групп, содержащих по ri , i = 1, ..., n                           равных по модулю
аргументов. Тогда нетрудно заметить, что сумма будет состоять из (r1!⋅...⋅rn!)
слагаемых

                                  ∑ ∏W m(( ki               )    m
                                                  + k j ) Δω = E m r1 ! ⋅K ⋅rm ! .


         Используя       данное       равенство       и    учитывая,        что      при    сделанных
предположениях W m( k Δω) = E mδ( k ) , выражение (8.14) для дисперсии оценки
ядра можно записать в виде:


                                 ⎧ E 2 ⎛ S y ( k1)                             2⎞
                                 ⎪ 1 ⎜⎜ 2 1               + δ( k1) H 1( k1) ⎟⎟ , m = 1;
                                 ⎪ L ⎝ Θ1 S x ( k1)                             ⎠
           {                  }
         D H$m ( k1, K , k m ) = ⎨
                                 ⎪          Em m+1
                                                     S y m ( k1 + K + k m )
                                 ⎪                                                      , m ≥ 2.
                                 ⎩ L ( m ! Θ m ) 2
                                                   r1 ! ⋅K ⋅rn ! S  (
                                                                   x 1k ) ⋅K ⋅S   (
                                                                                x m k )

(8.15)


         Из анализа данного выражения следует, что дисперсия оценки ядра
пропорциональна значению спектра составляющей ym(n) реакции на частоте,
равной сумме аргументов вычисляемого ядра, и стремится к нулю при L → ∞ .
Следовательно, данная оценка является состоятельной в среднеквадратичном,
т. е. выполняется предельное соотношение