Идентификация объектов управления. Семенов А.Д - 193 стр.

                                                                     {                                                            }
                                                 L        L
                                                 ∑ ∑          cov I      l1                        l2 *
                                                                         yxK x ( k1 ,... , k m ) I yxK x ( k1 ,... , k m )

           {
         D H$m ( k1 ,... , k m ) =    }      l 1 =1 l 2 = 1
                                                                         L 2 A 2 ( k1 )⋅K ⋅ A 2 ( k m )
                                                                                                                                      .

(8.28)


Ввиду независимости случайных фаз для различных значений l имеем

                           cov I {   l1                            l2 *
                                     yxK x ( k 1 , . . . , k m ) I yxK x ( k 1 , . . . , k m )     } = 0,       l1 ≠ l 2 .


         При l1 = l2 = l ковариация периодограммы равна


               {                                                               }      ⎧
                   l                             l*                                             l                        2⎫
         cov I     yxK x ( k 1 , . . . , k m ) I yxK x ( k 1 , . . . , k m )       = M⎨I             (
                                                                                                yxK x 1k , . . . , k m )  ⎬       −
                                                                                      ⎩                                      ⎭


               {                                 }            {                             }
                                                     2                                                                           m
                   l
                                                                                                                                 ∏ A 2 ( k i ).
                                                                                        2                                    2
         −M I      yxK x ( k 1 , . . . , k m )           = M Y l ( k 1 +. . .+ k m )            − H m ( k1 , . . . , k m )
                                                                                                                                 i =1




         Подставляя данное выражение в (8.28), получим:


                                  1 ⎛ S y ( k1 +...+ k m )                                2⎞
           {
         D H$m ( k1 ,... , k m ) = ⎜⎜ }
                                  L ⎝ NA 2 ( k1 )⋅K ⋅A 2 ( k m )
                                                                 − H m ( k 1 ,... , k m )  ⎟⎟ ,
                                                                                            ⎠
                                                                                                                                   (8.29)



где S y ( k ) − спектральная плотность мощности выходного сигнала системы,

равная NM{|Y(k)|2}. Из полученного выражения следует, что дисперсия
стремится к нулю при L → ∞, доказывая тем самым состоятельность оценки
H$m ( k1 ,... , k m ) .

         Физический смысл соотношения (8.29) становится более понятным, если
рассмотреть структуру выражения для спектра S y ( k ) процесса на выходе

нелинейной системы. Из ортогональности функционалов следует


                                                                         {                                }.
                                                               ∞
                                                              ∑
                                                                                                      2
                                       S y (k ) = N                  M G m[ H m , X ( k )]                                                (8.30)
                                                              m= 0