Идентификация объектов управления. Семенов А.Д - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

[]
∑
−
=
−
−
−
−
=
1
0
1
))((
)!1(
)1(
),(
n
k
n
k
k
k
k
y
ta
d
d
n
th
ττ
τ
τ
, (2.80)
∫
=
t
x
dxthtf
0
)(),()(
τττ
(2.81)
[]
∑
=
−
−
−
−
=
m
k
n
k
k
k
k
x
tb
d
d
n
th
0
1
))((
)!1(
)1(
),(
ττ
τ
τ
(2.82)
⎩
⎨
⎧
≤≤
≤≤
=
T
tth
th
τ
ττ
τ
0,0
0),,(
),( (2.83)
Функции h(t,
τ
) называются ядрами интегрального уравнения.
Выражая переменные интегрального уравнения в ортонормируемом
базисе, получим
,)()(,)()(
yTxT
ttyttx CΦCΦ == (2.84)
)()(),(),()(),(
0
ττττ
ΦAΦΦAΦ
yT
y
xT
x
tthtth == , (2.85)
где
∫∫
===
T
i
y
i
T
i
x
i
midtttyсdtttxс
00
,......2,1,)()(,)()(
ϕϕ
k
ji
T
jix
y
k
ji
T
jix
x
dtdttkAdtdttkA
1,
0
1,
)()(),(,)()(),(
==
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
∫∫∫∫
ττϕϕτττϕϕτ
Подставляя (2.84) и (2.85) в (2.79) с учетом (2.80) – (2.83) получим:
∫∫
=+
T
xTxT
T
yT
y
TyT
dtdtt
00
0
)()()()()()()(
ττττττ
CΦΦAΦCΦΦAΦCΦ ,
(2.86)
или, после преобразований
∫∫
=+
T
TxxT
T
Ty
y
TyT
dtdtt
00
0
)()()()()()()(
ττττττ
ΦΦCAΦΦΦCAΦCΦ . (2.87)
Поскольку
∫
=
T
T
d
0
)()( IΦΦ
τττ
- единичная матрица, то (2.87)
преобразуется к виду: 
                                                          (−1) k d k
                                                                                    [                   ]
                                                       n −1
                                    h y (t , τ ) = ∑                    a k (τ )(t − τ ) n −1 ,                                    (2.80)
                                                   k = 0 ( n − 1)! dτ
                                                                      k


                                                              t
                                                 f (t ) = ∫ h x (t , τ ) x(τ )dτ                                                   (2.81)
                                                              0


                                                          (−1) k d k
                                                                                    [                   ]
                                                       m
                                    h x (t , τ ) = ∑                    bk (τ )(t − τ ) n −1                                       (2.82)
                                                   k = 0 ( n − 1)! dτ
                                                                      k



                                                             ⎧h (t , τ ), 0 ≤ τ ≤ t
                                                 h(t , τ ) = ⎨                                                                     (2.83)
                                                             ⎩ 0, 0 ≤ τ ≤ T
          Функции h(t, τ) называются ядрами интегрального уравнения.
          Выражая переменные интегрального уравнения в ортонормируемом
базисе, получим
                                    x(t ) = Φ T (t )C x , y (t ) = Φ T (t )C y ,                                                   (2.84)

                      h x (t , τ ) = Φ T (t ) A x Φ(τ ), h y (t , τ ) = Φ T (t ) A 0y Φ(τ ) ,                                      (2.85)

где
                                T                                          T
                      с = ∫ x(t )ϕ i (t )dt , с = ∫ y (t )ϕ i (t )dt , i = 1,2,......m
                        i
                         x
                                                                  i
                                                                   y

                                0                                           0

                                                                       k                                                       k
           ⎛                                      ⎞                   ⎛                                      ⎞
      A = ⎜⎜ ∫∫ k x (t , τ )ϕ i (t )ϕ j (τ )dtdτ ⎟⎟
          x
                                                             , A0y = ⎜⎜ ∫∫ k x (t , τ )ϕ i (t )ϕ j (τ )dtdτ ⎟⎟
           ⎝T                                     ⎠ i , j =1          ⎝T                                     ⎠ i , j =1
          Подставляя (2.84) и (2.85) в (2.79) с учетом (2.80) – (2.83) получим:
                                         T                                                      T
                    Φ (t )C + ∫ Φ
                       T            y             T
                                                      (t ) A 0y Φ(         τ )Φ (τ )C dτ = ∫ Φ T (t ) A x Φ(τ )Φ T (τ )C x dτ ,
                                                                                T       y

                                         0                                                      0

                                                                                                                                   (2.86)
или, после преобразований
                                             T                                                      T
                             (t ) A 0y C y   ∫ Φ(τ )Φ                  (τ )dτ =Φ (t ) A C           ∫ Φ(τ )Φ       (τ )dτ .
      T        y        T                                         T                 T       x   x              T
  Φ (t )C + Φ                                                                                                                      (2.87)
                                             0                                                      0

                                T

                                ∫ Φ(τ )Φ              (τ )dτ = I
                                                  T
          Поскольку                                                             -   единичная           матрица,          то       (2.87)
                                0

преобразуется к виду:

Страницы