Идентификация объектов управления. Семенов А.Д - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

Функциональные полиномы имеют много аналогий с обычными
полиномами. Их можно складывать и умножать, причем результат также будет
являться полиномом. Обычные полиномы являются частным случаем
функциональных. Действительно, полагая в (2.106) ядро h
m
(
τ
1
,
...,
τ
m
) равным
многомерной δ-функции
h
mm m m
( ,..., ) ( ,..., ) ( )... ( )τ
τ
δ
τ
τ
δ
τ
δτ
111
=
=
⋅
⋅ ,
получим H
m
(x) = x
m
(t). Аналогично однородный функционал (2.107) будет равен
x
m
(n) при равенстве его ядра h
m
(n
1
,
...,
n
m
) многомерной дискретной δ-функции
hn n n n n n
mm m m
( ,..., ) ( ,..., ) ( )... ( )
111
=
=
⋅
⋅
δ
δ
δ .
Поэтому, функциональный полином (2.108) будет представлять из себя
обычный полином, если h
m
(τ
1
,
...,
τ
m
) = a
m
δ(τ
1
,
...,
τ
m
) в непрерывном случае и
h
m
(n
1
,
...,
n
m
) = a
m
δ(n
1
,
...,
n
m
) − в дискретном.
В отличие от обычных полиномов, определяющих статическую
нелинейность, функциональные полиномы характеризуют динамические
нелинейные свойства и могут быть использованы для аппроксимации широкого
класса нелинейных операторов, подобно разложению функции в степенные
ряды (например, ряды Тэйлора). Правомерность такого подхода следует из
известной теоремы М. Фреше [86], согласно которой любой непрерывный
функционал
F[x], заданный на множестве X функций x(t), непрерывных на
интервале T = [a, b], с какой угодно степенью точности ε можно приблизить
функциональным полиномом P
M
[x]
Fx P x x X
M
[] [] ,−<∀∈ε .
Требование непрерывности функционала F[x], необходимое для
приближения его последовательностью функциональных полиномов, с
физической точки зрения означает отсутствие скачков в изменении выходного
сигнала y(t) при малых изменениях входного сигнала x(t). На практике данное
условие выполняется для широкого класса нелинейных систем, имеющих
гладкий характер нелинейности. 
      Функциональные полиномы имеют много аналогий с обычными
полиномами. Их можно складывать и умножать, причем результат также будет
являться    полиномом.       Обычные           полиномы           являются          частным        случаем
функциональных. Действительно, полагая в (2.106) ядро hm(τ1, ..., τm) равным
многомерной δ-функции
                        hm ( τ1 ,... , τ m ) = δ( τ1 ,... , τ m ) = δ( τ1 )⋅...⋅δ( τ m ) ,

получим Hm(x) = xm(t). Аналогично однородный функционал (2.107) будет равен
xm(n) при равенстве его ядра hm(n1, ..., nm) многомерной дискретной δ-функции
                        hm (n1 ,... , nm ) = δ(n1 ,... , nm ) = δ(n1 )⋅...⋅δ(nm ) .

      Поэтому, функциональный полином (2.108) будет представлять из себя
обычный полином, если hm(τ1, ..., τm) = amδ(τ1, ..., τm) в непрерывном случае и
hm(n1, ..., nm) = amδ(n1, ..., nm) − в дискретном.
      В    отличие      от   обычных          полиномов,           определяющих                статическую
нелинейность,      функциональные             полиномы           характеризуют               динамические
нелинейные свойства и могут быть использованы для аппроксимации широкого
класса нелинейных операторов, подобно разложению функции в степенные
ряды (например, ряды Тэйлора). Правомерность такого подхода следует из
известной теоремы М. Фреше [86], согласно которой любой непрерывный
функционал F[x], заданный на множестве X функций x(t), непрерывных на
интервале T = [a, b], с какой угодно степенью точности ε можно приблизить
функциональным полиномом PM[x]
                                   F [ x ] − PM [ x ] < ε,        ∀x ∈ X .

      Требование        непрерывности            функционала             F[x],     необходимое            для
приближения       его    последовательностью                функциональных                   полиномов,     с
физической точки зрения означает отсутствие скачков в изменении выходного
сигнала y(t) при малых изменениях входного сигнала x(t). На практике данное
условие выполняется для широкого класса нелинейных систем, имеющих
гладкий характер нелинейности.

Страницы