Идентификация объектов управления. Семенов А.Д - 59 стр.

      В заключение покажем, что имеет место тесная взаимосвязь между
многомерной      линейной            и        нелинейной                системой           аппроксимированной
полиномиальными функциональными многочленами. Как известно [31],
линейное    многомерное          преобразование                       сигнала         u(n1, ..., ns)     описывается
многомерной линейной сверткой вида
                                      ∞            ∞
                y (n1,... , ns ) =   ∑ L ∑ h(i 1,... , i s)u(n1 − i 1,... , ns − i s) .                       (2.116)
                                     i1 =0        i s =0

      Как частные случаи, для s = 1 получаем линейную свертку для
одномерных систем, для s = 2 − линейную свертку, описывающую двухмерные
системы.
      Допустим теперь, что s-мерный входной сигнал является сепарабельной
функцией, т. е. представим в виде произведения m сигналов меньшей
размерности r = s/m. Используя векторные аргументы, запишем:
                                                                        m
                                          u( n1 ,... , nm ) =          ∏ x( n j ) .                           (2.117)
                                                                       j =1

      Для данного воздействия выражение (2.116) принимает вид
                                                                                    m
                      y ( n1 ,... , nm ) =         ∑L         ∑ h( i1 ,... , i m ) ∏ x ( n j − i j ) .
                                                    i1        im                    j =1

      Выделяя из выходного сигнала лишь диагональные блоки размерности r,
т. е. полагая n1 = n2 =...= nm = n, получим:
                                                                                m
                         y m ( n) =       ∑ L ∑ h ( i 1, . . . , i m ) ∏ x ( n − i j ) .
                                             i1          im                    j =1

      Это    выражение          есть              не       что      иное,       как        нелинейная       свертка,
характеризующая rm-систему.
      Таким образом, имеет место тесная взаимосвязь между многомерной
линейной и полиномиальной нелинейной системой, состоящая в следующем.
Выходной сигнал нелинейной системы порядка m и размерности r может быть
получен из реакции многомерной линейной системы (прототипа) размерности
rm при сепарабельном воздействии вида (2.117) путем выделения из выходного