Идентификация объектов управления. Семенов А.Д - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

Тогда задачу моделирования нелинейной системы с помощью полинома
M-го порядка можно интерпретировать как аппроксимацию функционала
[
]
yn Fxn() ()= ,
описывающего поведение нелинейной системы, функциональным полиномом
P
M
[x(n)], минимизирующим квадрат нормы
[] []
Fxn P xn
M
() () min−→
2
. (2.118)
Решение данной задачи в гильбертовом пространстве функционалов [44]
приводит к следующему уравнению:
[
]
[
]
[
]
(
)
Pxn FxnPxn
MM
() (), ()−=0. (2.119)
Определение ядер дискретного функционального полинома можно
существенно упростить, если воспользоваться представлением P
M
[x(n)] в виде
суммы ортогональных функционалов
[] [ ]
Pxn Ghxn
Mmm
m
M
() , ()=
=
∑
0
. (2.120 )
Полином, определяемый данным выражением, будем называть
ортогональным полиномом порядка M для класса входных сигналов x(n).
Ортогональность функционалов G
m
[h
m
,
x(n)] в (2.120) понимается в смысле
равенства нулю скалярного произведения функционалов различных порядков
[][]
(
)
[]
G h xn G h xn
ij
Ghxn i j
ii ji
ii
,(), ,()
,;
,() , .
=
≠
=
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
0
2
(2.121)
Заметим, что в отличие от разложения в ряд Вольтерра (2.110),
являющегося обобщением ряда Тейлора, разложение оператора F[x(n)] по
ортогональным функционалам G
m
[h
m
,
x(n)] можно рассматривать как
обобщенный ряд Фурье [137]. В этом случае ядра ортогонального полинома
определяются из системы независимых уравнений вида
[][ ]
(
)
[]
FxnGhxn Ghxn
mm mm
(), , () , ()=
2
, (2.122)
которая легко может быть получена из (1.119) с учетом свойства
ортогональности (2.121). 
     Тогда задачу моделирования нелинейной системы с помощью полинома
M-го порядка можно интерпретировать как аппроксимацию функционала
                                           y (n) = F [ x (n) ] ,

описывающего поведение нелинейной системы, функциональным полиномом
PM[x(n)], минимизирующим квадрат нормы

                                    F [ x (n) ] − PM [ x (n) ]
                                                                 2
                                                                     → min .                   (2.118)

     Решение данной задачи в гильбертовом пространстве функционалов [44]
приводит к следующему уравнению:
                               (PM [x (n) ] − F [x (n) ], PM [x (n) ]) = 0 .                   (2.119)

     Определение ядер          дискретного функционального полинома                             можно
существенно упростить, если воспользоваться представлением PM[x(n)] в виде
суммы ортогональных функционалов
                                                    M
                                   PM [ x (n) ] =   ∑ G m [hm , x (n) ] .                      (2.120 )
                                                    m= 0

     Полином,     определяемый             данным          выражением,                будем   называть
ортогональным полиномом порядка M для класса входных сигналов x(n).
Ортогональность функционалов Gm[hm, x(n)] в (2.120) понимается в смысле
равенства нулю скалярного произведения функционалов различных порядков
                                                      ⎧0, i ≠ j ;
                (Gi [hi , x(n) ], G j [hi , x(n) ]) = ⎪⎨⎪ Gi [hi , x(n) ]   2
                                                                                ,i = j.
                                                                                               (2.121)
                                                      ⎩
     Заметим, что в отличие от разложения в ряд Вольтерра (2.110),
являющегося обобщением ряда Тейлора, разложение оператора F[x(n)] по
ортогональным     функционалам             Gm[hm, x(n)]          можно          рассматривать      как
обобщенный ряд Фурье [137]. В этом случае ядра ортогонального полинома
определяются из системы независимых уравнений вида

                        (F [x (n) ],G m [hm , x(n) ]) =     G m [hm , x (n) ] ,
                                                                                  2
                                                                                               (2.122)

которая легко может быть получена из (1.119) с учетом свойства
ортогональности (2.121).

Страницы