Идентификация объектов управления. Семенов А.Д - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

{}
=
≠∀ ≠
=∃ =
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
=
∏
0
11
2
1
11
, ( ) ( ,..., ) ( ,..., );
[ ( )] , ( ) ( ,..., ) ( ,..., ),
mn Perk k m m
Mp xi m n Perk k m m
ss
m
j
j
s
ss
j
èëè
è
(2.125)
т. е. скалярное произведение полиномов отлично от нуля только в том случае,
если их степени равны и существует перестановка Per(k
1
,
...,
k
s
) совокупности
индексов (k
1
,
...,
k
s
), переводящая ее в (m
1
,
...,
m
s
).
Данное свойство дает основание утверждать, что функционалы вида
[]
[
]
G h xn h i i xn i xn i
mm
iTi T
mmm m
m
, ( ) ( ,..., ) ( ),..., ( )=−−
∈∈
∑∑
K
1
11
Φ (2.126)
будут удовлетворять условию (2.121) ортогональности. Используя в данном
выражении полиномы Эрмита (2.124), получаем как частный случай известные
функционалы Винера [24, 105]:
Ghxn h
00 0
[,()]
=
, Ghxn hixn i
iT
11
[,()] ()( )=−
∈
∑
,
G h xn h i i xn i xn i h i i
iTiT iT
22 212 1 2
2
2
21
[,()] (,)( )( ) (,)=−−−
∈∈∈
∑
∑∑
σ ,
G h xn h i i i xn i xn i xn i
iTiTiT
33 3123 1 2 3
321
[,()] (,,)( )( )( )=−−−−
∈∈∈
∑
∑
∑
−−
∈∈
∑
∑
3
2
312 2 1
21
σ
iTiT
hii i xn i(,,)( ), (2.127)
ортогональные для белого гауссова шума x(n) с нулевым средним и дисперсией
σ
2
. Аналогичным образом можно построить ортогональные функционалы для
случайных процессов типа белого шума с другими законами распределений.
Известны, например, ортогональные функционалы для импульсных шумов с
пуассоновским распределением, определяемые через многомерные многочлены
Шарлье [137].
Для ортогональных функционалов вида (2.126) уравнение (2.122),
определяющее его ядра h
m
(i
1
,
...,
i
m
), будет выглядеть следующим образом:
[]
{}
M ( ) ( ) ( ,..., )yn xn i xn i h n n
mm
n
mm
n
m
()Φ−⋅⋅−= ×
∑
∑
11
1
KK
[]
[
]
{}
× − ⋅⋅ − − ⋅⋅ −M()()()()ΦΦ
mmm m
xn i xn i xn n xn n
11
KK
. (2.128) 
        ⎧0, ( m ≠ n) èëè ∀Per ( k 1 , . . . , k s ) ≠ ( m1 , . . . , ms );
        ⎪
       =⎨ s
                   {                   }
        ⎪ ∏ M pm j [ x (i j )] , ( m = n) è ∃ Per ( k 1 , . . . , k s ) = ( m1 , . . . , ms ),
        ⎩ j =1
                  2                                                                                                      (2.125)


т. е. скалярное произведение полиномов отлично от нуля только в том случае,
если их степени равны и существует перестановка Per(k1, ..., ks) совокупности
индексов (k1, ..., ks), переводящая ее в (m1, ..., ms).
      Данное свойство дает основание утверждать, что функционалы вида
        G m [hm , x (n) ] =    ∑K ∑               hm (i 1 ,... , i m ) Φ m [ x (n − i 1 ),... , x (n − i m ) ]           (2.126)
                              i 1 ∈T     i m ∈T

будут удовлетворять условию (2.121) ортогональности. Используя в данном
выражении полиномы Эрмита (2.124), получаем как частный случай известные
функционалы Винера [24, 105]:
                       G 0[ h0 , x ( n)] = h0 ,              G1[ h1 , x (n)] =          ∑      h( i ) x (n − i ) ,
                                                                                        i ∈T

              G 2 [ h2 , x (n)] =       ∑ ∑           h2 (i 1 , i 2 ) x (n − i 1 )x (n − i 2 ) − σ 2        ∑ h2 (i , i ) ,
                                       i1 ∈T i 2 ∈T                                                         i ∈T

             G 3[ h3 , x (n)] =        ∑ ∑ ∑                h3 (i 1 , i 2 , i 3 )x (n − i 1 )x (n − i 2 ) x (n − i 3 ) −
                                   i 1 ∈T i 2 ∈T i 3 ∈T

                               −3σ 2        ∑ ∑           h3 ( i 1 , i 2 , i 2 ) x ( n − i 1 ) ,                         (2.127)
                                           i1 ∈T i 2 ∈T

ортогональные для белого гауссова шума x(n) с нулевым средним и дисперсией
σ2. Аналогичным образом можно построить ортогональные функционалы для
случайных процессов типа белого шума с другими законами распределений.
Известны, например, ортогональные функционалы для импульсных шумов с
пуассоновским распределением, определяемые через многомерные многочлены
Шарлье [137].
      Для ортогональных функционалов вида (2.126) уравнение (2.122),
определяющее его ядра hm(i1, ..., im), будет выглядеть следующим образом:
                 M {y (n)Φ m [ x (n − i 1 )⋅K ⋅x (n − i m ) ]} =                  ∑ K ∑ hm (n1,... , nm ) ×
                                                                                   n1      nm

              × M {Φ m [ x ( n − i 1 )⋅K ⋅x (n − i m ) ]Φ m [ x (n − n1 )⋅K ⋅x (n − nm ) ]} .                            (2.128)

Страницы