Идентификация объектов управления. Семенов А.Д - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

С учетом свойства (2.125) ортогональности функционалов решение
может быть получено в явном виде:
{
}
{}
{}
)(M)(M!
)]()()(M!!
),...,,...,,...,(
22
11
11
1
1
1
nvnvm
invinvnymm
iiiih
s
s
s
mm
smms
m
ss
m
m
⋅⋅
−⋅⋅
−
⋅
⋅
=
K
KK
321
321
,
где v
i
(n) = p
i
[x(n)], все i
1
,
...,
i
s
различны, m = m
1
+
...
+
m
s
, а m = 0, 1,
...,
M.
Числитель полученного выражения представляет собой многомерную
взаимную корреляционную функцию выходного сигнала у(n) системы и
различных сигналов v
i
(n), полученных преобразованием входного сигнала x(n)
ортогональными многочленами различного порядка, а знаменатель
определяется произведением мощностей сигналов v
i
(n).
Для случайных процессов, отличных от белого шума (окрашенных), c
корреляционной функцией R
x
(n) ≠ δ(n), условие (2.125) ортогональности
многомерных полиномов будет нарушаться. В этом случае ортогональные
функционалы G
m
[h
m
,x(n)] могут быть получены непосредственно из системы
линейно независимых функциональных полиномов
Pxn hi i xni
mssj
j
s
iTiTs
m
s
[()] (,..., ) ( )=−
=
∈∈=
∏
∑∑∑
K
1
1
0
1
, m = 0, 1, ..., M
с помощью процедуры ортогонализации Грама
−
Шмидта [70, 86]. Можно
показать [131], что для гауссовых процессов с произвольной корреляционной
функцией R
x
(n) ортогональные функционалы Винера определяются
выражением
[
]
G h xn h i i He xn i xn i
mm
iTi T
mmm m
m
[ , ( )] ( ,..., ) ( ),..., ( )=−−
∈∈
∑∑
K
1
11
, (2.129)
где h
m
(i
1
,
...,
i
m
) − ядра Винера во временной области.
Входящие в (2.129) многомерные полиномы Эрмита в данном случае
определяются следующим образом:
[]
(
)
[
]
He xn xn R n n xn
mm
r
xi j k
mrr
r
m
( ),..., ( ) ( ) ( )
()()
1
2
0
2
1=− −
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
⎫
⎬
⎪
⎭
⎪
−
=
∏∏
∑∑
, (2.139) 
      С учетом свойства (2.125) ортогональности функционалов решение
может быть получено в явном виде:
                                                      m1!⋅K ⋅ m s ! M{y (n)v m1 (n − i1 ) ⋅ K ⋅ v ms (n − i s )]}
            hm (i1 ,..., i1 ,..., i s ,..., i s ) =                                                                     ,
                123 123
                      m1                ms
                                                                         m! M{v m21 (n)}⋅ K ⋅ M{v m2 s (n)}

где vi(n) = pi[x(n)], все i1, ..., is различны, m = m1 + ... + ms, а m = 0, 1, ..., M.
Числитель       полученного                  выражения                    представляет           собой       многомерную
взаимную корреляционную функцию выходного сигнала у(n) системы и
различных сигналов vi(n), полученных преобразованием входного сигнала x(n)
ортогональными               многочленами                      различного                 порядка,       а      знаменатель
определяется произведением мощностей сигналов vi(n).
      Для случайных процессов, отличных от белого шума (окрашенных), c
корреляционной функцией Rx(n) ≠ δ(n), условие (2.125) ортогональности
многомерных полиномов будет нарушаться. В этом случае ортогональные
функционалы Gm[hm,x(n)] могут быть получены непосредственно из системы
линейно независимых функциональных полиномов
                                  m                                                 s
            Pm[ x ( n)] =        ∑ ∑           K      ∑      hs (i 1 , . . . , i s ) ∏ x (n − i j ) , m = 0, 1, ..., M
                                 s = 0 i1 ∈T        i s ∈T                         j =1

с помощью процедуры ортогонализации Грама − Шмидта [70, 86]. Можно
показать [131], что для гауссовых процессов с произвольной корреляционной
функцией        Rx(n)         ортогональные                        функционалы                Винера         определяются
выражением
      G m[ hm , x ( n)] =       ∑K ∑              hm (i 1 ,... , i m ) Hem [ x (n − i 1 ),... , x (n − i m ) ] ,      (2.129)
                               i 1 ∈T    i m ∈T

где hm(i1, ..., im) − ядра Винера во временной области.
      Входящие в (2.129) многомерные полиномы Эрмита в данном случае
определяются следующим образом:
                                                  [ m 2]                 ⎧⎪                                     ⎫⎪
       Hem [ x (n1 ), . . . , x (nm ) ] =          ∑       ( −1)       ∑ ⎨∏ x i j ∏ k ⎬ ,
                                                                   r
                                                                                   R ( n − n )         x  ( n )       (2.139)
                                                  r =0                    ⎪⎩ ( r )             ( m − 2r )        ⎪⎭

Страницы