Идентификация объектов управления. Семенов А.Д - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

Структура ортогональных функционалов G
m
[h
m
,
x(n)] зависит от
вероятностных свойств процесса x(n). Для статических нелинейных систем без
памяти (T = {n}) определение ортогональных функционалов не составляет
труда. Они фактически совпадают с обычными полиномами (Эрмита,
Чебышева, Лежандра и др.), ортогональными с весом, равным плотности
вероятности f(x) сигнала x(n) [38]. В случае динамических систем с памятью
(Т
= { ... ,−1, 0, 1, ... }) и статистически независимыми процессами на входе для
построения G
m
[h
m
,
x(n)] также можно воспользоваться одномерными
ортогональными полиномами [127, 131].
Пусть для процесса x(n) существует полиномиальный базис p
i
[x(n)],
такой, что
[][]
{}
[]
M pxnp xn
ij
pxn i j
ij
i
() ()
,;
(), .
=
≠
=
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
0
2
Вид полиномов определяется плотностью f(x) случайного процесса x(n). В
частности, для гауссова процесса x(n) с математическим ожиданием
M{x(n)} = 0 и дисперсией М{x
2
(n)} = σ
2
таким базисом будут являться
многочлены Эрмита вида
⎡⎤
px
m
rmr
x
m
r
m
rr
r
mr
()
() !
!( )!
=
−
−
=
−
∑
0
2
2
2
1
22
σ
, (2.123)
первые из которых равны
px
0
1()= , px x
1
()= , px x
2
22
()=−σ, px x x
3
32
3()=−σ. (2.124)
Определим теперь симметричные многомерные полиномы вида
)]([)]([])(),...,(,...,)(),...,([
111
1
1
smm
m
ss
m
ixpixpixixixix
s
s
⋅
⋅
=
Φ K
4434421
43421
,
для которых m = m
1
+
...
+ m
s
, a все индексы i
1
,
...,
i
s
различны. Из статистической
независимости отсчетов x(i
1
), ..., x(i
s
) случайного процесса следует
ортогональность таких полиномов в следующем смысле:
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
ΦΦ ])(),...,(,...,)(),...,([])(),...,(,...,)(),...,([M
11
1111
44344214434421
4434421
43421
r
s
k
rr
k
n
m
ss
m
jxjxjxjxixixixix 
      Структура          ортогональных               функционалов              Gm[hm, x(n)]        зависит         от
вероятностных свойств процесса x(n). Для статических нелинейных систем без
памяти (T = {n}) определение ортогональных функционалов не составляет
труда. Они фактически совпадают с обычными полиномами (Эрмита,
Чебышева, Лежандра и др.), ортогональными с весом, равным плотности
вероятности f(x) сигнала x(n) [38]. В случае динамических систем с памятью (Т
= { ... ,−1, 0, 1, ... }) и статистически независимыми процессами на входе для
построения        Gm[hm, x(n)]           также       можно             воспользоваться           одномерными
ортогональными полиномами [127, 131].
      Пусть для процесса x(n) существует полиномиальный базис pi[x(n)],
такой, что
                                                              ⎧⎪0, i ≠ j ;
                                     {                        }
                               M pi [ x (n) ] p j [ x (n) ] = ⎨ 2
                                                               ⎪⎩ pi [ x (n) ], i = j .

      Вид полиномов определяется плотностью f(x) случайного процесса x(n). В
частности, для гауссова                  процесса             x(n) с математическим                  ожиданием
M{x(n)} = 0 и дисперсией М{x2(n)} = σ2 таким базисом будут являться
многочлены Эрмита вида
                                                  ⎡m 2⎤ ( −1) r m ! σ 2r
                                     pm ( x ) =    ∑              r
                                                                               x m − 2r ,                   (2.123)
                                                  r =0    r ! 2 ( m − 2r ) !
первые из которых равны
        p0 ( x ) = 1 ,    p1 ( x ) = x ,      p2 ( x ) = x 2 − σ 2 ,       p3 ( x ) = x 3 − 3σ 2 x .        (2.124)
      Определим теперь симметричные многомерные полиномы вида
                  Φ m [ x(i1 ),..., x(i1 ),..., x(is ),..., x(is )] = pm1 [ x(i1 )] ⋅ K ⋅ pms [ x(is )] ,
                        14243 142                  4 43      4
                                 1                       ms


для которых m = m1 + ... + ms, a все индексы i1, ..., is различны. Из статистической
независимости            отсчетов          x(i1), ..., x(is)          случайного        процесса            следует
ортогональность таких полиномов в следующем смысле:
          ⎧                                                                                                      ⎫
          ⎪                                                                                                      ⎪
        M ⎨Φ m [ x(i1 ),..., x(i1 ),..., x(is ),..., x(is )]Φ n [ x( j1 ),..., x( j1 ),..., x( jr ),..., x( jr )]⎬ =
                 14243 142                  4 43      4           14  4244        3 144244                  3
          ⎪⎩              1                     ms                         k1                        kr          ⎪⎭

Страницы