Идентификация объектов управления. Семенов А.Д - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

где R
x
(n) − корреляционная функция процесса x(n), ⎡m/2⎤ означает наибольшее
целое число, не превосходящее m/2, а суммирование производится по
всевозможным разбиениям совокупности {n
1
,
...,
n
m
} на r пар {n
i
,
n
j
} и (m − 2r)
элементов n
k
. Например, первые полиномы будут равны
He
0
1= ,
[]
He xi xi
1
() ()= ,
[
]
He xi xi xi xi R i i
x21 2 12 12
(),() ()() ( )=−−,
[]
He xi xi xi xi xi xi
31 2 3 12 3
(),(),() ()()()=−
−−−
−
−
−
xi R i i xi R i i xi R i i
xxx
() ( ) () ( ) () ( )
132 231 321
.
Свойство ортогональности данных полиномов имеет следующий вид:
[][ ]
{}
M ( ),..., ( ) ( ),..., ( )
,;
(),,
()
He x i x i He x j x j
mn
Ri j m n
mmm n
xs r
m
11
0
=
≠
−=
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
∏
∑
(2.131)
где суммирование осуществляется по различным разбиениям (всего m!) на пары
(i
s
, j
r
), i
s
∈ (i
1
,
...,
i
m
), j
r
∈ (j
1
,
...,
j
m
), а произведение содержит m сомножителей,
соответствующих каждому такому разбиению. В отличие от выражения (2.125),
определяющего условие ортогональности для белого шума, здесь скалярное
произведение отлично от нуля как только m = n и не требуется существования
перестановки Per(i
1
,
...,
i
s
) = (j
1
,
...,
j
s
). Поэтому (2.131) отлично от нуля в
большей области, чем (2.125).
Для функционалов (2.129) уравнение (2.128), определяющее оптимальные
ядра ортогонального ряда Винера с окрашенным процессом на входе, выглядит
K
iTi T
mmxjj
j
m
yHe m
m
hi i Rn i R n n
1
1
1
1
∈∈
=
∑∑
∏
−=( ,..., ) ( ) ( ,..., ), (2.132)
где R
yHe
(n
1
,
...,
n
m
) = M{y(n)x(n − n
1
)⋅...⋅x(n − n
m
)} представляет собой взаимную
корреляционную функцию выходного сигнала у(n) системы и многомерного
многочлена Эрмита вида (2.130) от входного сигнала x(n). Хотя полученное
уравнение и не допускает явного решения во временной области, как это было в
случае белого шума, оно может быть решено в частотной. Действительно,
вычисляя многомерное преобразование Фурье от
обеих частей уравнения
(2.132), получим: 
где Rx(n) − корреляционная функция процесса x(n), ⎡m/2⎤ означает наибольшее
целое число, не превосходящее m/2, а суммирование производится по
всевозможным разбиениям совокупности {n1, ..., nm} на r пар {ni, nj} и (m − 2r)
элементов nk. Например, первые полиномы будут равны
            He0 = 1 ,         He1 [ x (i ) ] = x (i ) ,          He2 [ x ( i 1 ), x (i 2 ) ] = x (i 1 ) x (i 2 ) − Rx (i 1 − i 2 ) ,

         He3 [ x (i 1 ), x (i 2 ), x (i 3 ) ] = x (i 1 ) x (i 2 ) x (i 3 ) −

          − x (i 1 ) R x (i 3 − i 2 ) − x (i 2 ) R x (i 3 − i 1 ) − x (i 3 ) R x (i 2 − i 1 ) .

         Свойство ортогональности данных полиномов имеет следующий вид:
                                                                              ⎧0, m ≠ n;
                                                                              ⎪
M {Hem [ x (i 1 ), . . . , x (i m ) ]Hem [ x ( j 1 ), . . . , x ( j n ) ]}   =⎨
                                                                                ∑ ∏ Rx (i s − j r ), m = n, (2.131)
                                                                              ⎪⎩ ( m)

где суммирование осуществляется по различным разбиениям (всего m!) на пары
(is, jr), is ∈ (i1, ..., im), jr ∈ (j1, ..., jm), а произведение содержит m сомножителей,
соответствующих каждому такому разбиению. В отличие от выражения (2.125),
определяющего условие ортогональности для белого шума, здесь скалярное
произведение отлично от нуля как только m = n и не требуется существования
перестановки Per(i1, ..., is) = (j1, ..., js). Поэтому (2.131) отлично от нуля в
большей области, чем (2.125).
         Для функционалов (2.129) уравнение (2.128), определяющее оптимальные
ядра ортогонального ряда Винера с окрашенным процессом на входе, выглядит
                                                          m
                     ∑K        ∑      hm (i 1 ,... , i m ) ∏ Rx (n j − i j ) = RyHe (n1 ,... , nm ) ,                      (2.132)
                    i 1 ∈T   i m ∈T                       j =1

где RyHe(n1, ..., nm) = M{y(n)x(n − n1)⋅...⋅x(n − nm)} представляет собой взаимную
корреляционную функцию выходного сигнала у(n) системы и многомерного
многочлена Эрмита вида (2.130) от входного сигнала x(n). Хотя полученное
уравнение и не допускает явного решения во временной области, как это было в
случае белого шума, оно может быть решено в частотной. Действительно,
вычисляя многомерное преобразование Фурье от обеих частей уравнения
(2.132), получим:

Страницы