Идентификация объектов управления. Семенов А.Д - 67 стр.

отсчетов. Используя свойства преобразования Фурье, можно показать
справедливость следующего соотношения [107]:
                                    1    ⎡                        m         ⎤
                                         ⎢Y m ( ω1 ,... , ω m ) ∏ X ( ω i ) ⎥ =
                                                                     ∗
                                    N    ⎢⎣                     i =1        ⎥⎦
                                   ∞        ∞                                          m
                              =    ∑K      ∑        Rˆ ym x... x (n1 ,..., nm ) exp(− j ∑ niω i ) ,     (2.137)
                                  n1 =−∞ nm =−∞                                       i =1


где Ym(ω) и X(ω) − преобразования Фурье соответственно реализаций уmN(n) и
xN(n); Rˆ ym x... x (n1 ,..., nm ) − оценка многомерной корреляционной функции,

определяемая выражением
                                                                   m
                                                       1
                           R ym x... x (n1 ,..., nm ) = ∑ y mN (n)∏ x N (n − ni ) .
                           ˆ
                                                       N n        i =1

     Вычисляя математическое ожидание от обеих частей уравнения (2.137) и
устремляя N к бесконечности, получим:
                                              1   ⎪⎧                        m
                                                                                        ⎪⎫
        S ymx ... x ( ω 1 , . . . , ω m ) = lim M ⎨Y m ( ω1 +. . .+ ω m ) ∏ X ∗ ( ω i ) ⎬ .             (2.138)
                                         N →∞ N    ⎪⎩                     i =1           ⎪⎭

     Выражения (2.136) и (2.138) характеризуют ядра Hm(ω1, ..., ωm) Винера как
многомерные        периодические                в       комплексном             пространстве          функции,
обладающие свойством симметрии относительно всевозможных перестановок
аргументов и свойством комплексно сопряженной симметрии:
                                                         ∗
                               H m ( ω1 ,... , ω m ) = H m ( −ω1 ,... ,−ω m )                           (2.139)
относительно начала координат. Рассматривая ядро Hm(ω1, ..., ωm) на одном
периоде, область его задания можно определить следующей системой
неравенств:
                                       ω1 + . . . + ω m ≤ Ω y ≤ Ω 2 , ⎫⎪
                                                                           ⎬                            (2.140)
                                       ω i ≤ Ω x ≤ Ω 2 , i = 1, . . . , m,⎪⎭

где Ω − частота дискретизации, Ωx и Ωy − верхние граничные частоты входного
и выходного сигналов системы. Отмеченные обстоятельства дают возможность
ограничиться определением ядра Винера m-го порядка лишь в некоторой
области m-мерного куба.