Высшая математика. Ч.2. Семёнова Т.В. - 39 стр.

 Пусть имеется тело объема V. Площадь любого поперечного сечения тела
Q, известна как непрерывная функция Q = Q(x). Разобьем тело на “слои”
поперечными сечениями, проходящими через точки хi разбиения отрезка [a,
b]. Т.к. на каком- либо промежуточном отрезке разбиения [xi-1, xi] функция
Q(x) непрерывна, то принимает на нем наибольшее и наименьшее значения.
Обозначим их соответственно Mi и mi.

 Если на этих наибольшем и наименьшем сечениях построить цилиндры с
образующими, параллельными оси х, то объемы этих цилиндров будут
соответственно равны MiΔxi и miΔxi здесь Δxi = xi - xi-1.

 Произведя такие построения для всех отрезков разбиения, получим

цилиндры, объемы которых равны соответственно             и        .

 При стремлении к нулю шага разбиения λ, эти суммы имеют общий предел:




Таким образом, объем тела может быть найден по формуле:




 Недостатком этой формулы является то, что для нахождения объема
необходимо знать функцию Q(x), что весьма проблематично для сложных
тел.

 Пример: Найти объем шара радиуса R.