Высшая математика. Ч.2. Семёнова Т.В. - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

Пусть
δ
- некоторое положительное число.
δ
-окрестностью V
δ
точки
M
0
(x
0
,y
0
) называется множество всех точек, координаты x,y которых
удовлетворяют неравенствам
()()
δ
<−+−<
2
0
2
0
0 yyxx .
Очевидно, что
δ
-окрестность точки M
0
(x
0
,y
0
) представляет собой круг радиуса
δ
с выколотым центром.
Точка M
0
(x
0
,y
0
) называется точкой минимума функции z = f(x,y), если
существует такое положительное число
δ
, что из условия M(x,y) ∈ V
δ
(x
0
,y
0
)
следует f(x,y) > f(x
0
,y
0
).
Точка M
0
(x
0
,y
0
) называется точкой максимума функции z = f(x,y), если
существует такое положительное число
δ
, что из условия M(x,y) ∈ V
δ
(x
0
,y
0
)
следует: f(x,y) < f(x
0
,y
0
).
Точки минимума и максимума называются
точками экстремума.
Число A называется
пределом функции z = f(x,y) в точке M
0
(x
0
,y
0
):
(
)
(
)
MfAyxfA
MM
yy
xx
0
0
0
lim,lim
→
→
→
=
⇔
=
,
если для произвольного числа
ε
> 0 найдется такое число
δ
> 0, что для всех
точек M(x,y) из
δ
-окрестности точки M
0
(x
0
,y
0
) выполняется неравенство
|f(x,y) - A|<
ε
.
Функция z = f(x,y)
называется непрерывной в точке M
0
(x
0
,y
0
), если
(
)
(
)
0
0
lim MfMf
MM
=
→
.
Два последних определения фактически повторяют определения
предела и непрерывности в точке для функции одной переменной.
2. Частные производные
Частной производной по x функции z = f(x,y) в точке M
0
(x
0
,y
0
)
называется предел
(
)
(
)
x
yxfyxxf
x
Δ
−
Δ
+
→Δ
0000
0
,,
lim , 
      Пусть δ - некоторое положительное число. δ-окрестностью Vδ точки
M0(x0,y0) называется множество всех точек, координаты x,y которых
удовлетворяют неравенствам

                         0<        (x − x0 )2 + ( y − y0 )2 < δ .
Очевидно, что δ-окрестность точки M0(x0,y0) представляет собой круг радиуса
δ с выколотым центром.
      Точка M0(x0,y0) называется точкой минимума функции z = f(x,y), если
существует такое положительное число δ , что из условия M(x,y) ∈ Vδ (x0,y0)
следует f(x,y) > f(x0,y0).
      Точка M0(x0,y0) называется точкой максимума функции z = f(x,y), если
существует такое положительное число δ , что из условия M(x,y) ∈ Vδ (x0,y0)
следует: f(x,y) < f(x0,y0).
      Точки минимума и максимума называются точками экстремума.

      Число A называется пределом функции z = f(x,y) в точке M0(x0,y0):

                     A = lim f ( x, y ) ⇔ A = lim f (M ) ,
                          x → x0                         M →M 0
                          y → y0


если для произвольного числа ε > 0 найдется такое число δ > 0, что для всех
точек M(x,y) из δ-окрестности точки M0(x0,y0) выполняется неравенство

                                       |f(x,y) - A|<ε .

      Функция z = f(x,y) называется непрерывной в точке M0(x0,y0), если

                                   lim f (M ) = f (M 0 ) .
                               M →M 0


      Два последних определения фактически повторяют определения
предела и непрерывности в точке для функции одной переменной.

2. Частные производные
      Частной производной по x функции z = f(x,y) в точке M0(x0,y0)
называется предел

                                    f ( x0 + Δ x , y 0 ) − f ( x0 , y 0 )
                             lim                                          ,
                         Δ x →0                    Δx

Страницы