Высшая математика. Ч.2. Семёнова Т.В. - 56 стр.

положить переменную y равной константе, а при нахождении частной
производной по y нужно считать константой переменную x.

                                                   ∂z           1 ∂z
         Примеры. 1. z = x 2 y + x ;                  = 2 xy +    ;   = x2 .
                                                   ∂x          2 x ∂y
                          x                 x                        x
                             ∂z 1 y ∂z      x
         2. z ( x, y ) = e ;
                          y
                               = e ;    = − 2 ey.
                             ∂x y    ∂y    y

     Если частные производные функции z = f(x,y) существуют на
некотором множестве, а точка, в которой вычисляются частные производные
несущественна, то пользуются более короткими обозначениями:

                                                                  ∂f ∂f
                                       z′x ; z′y ; f x′; f y′ ;      ;  .
                                                                  ∂x ∂y

Сами частные производные могут являться функциями от нескольких
переменных на некотором множестве. У этих функций тоже могут
существовать частные производные по x и по y. Они называются вторыми
частными производными или частными производными второго порядка
                                       ∂2f ∂2f ∂2f
и обозначаются zxx′′, zyy′′, zxy′′ или      ;     ;       . Согласно определению
                                       ∂ x 2 ∂ y 2 ∂ x∂ y
         ∂ 2z            ′             ∂ 2z
z ′xx
   ′ =        = ( z ′x )x ;   z ′xy
                                 ′ =         = ( z ′x )′ y . Последняя частная производная
         ∂x 2                          ∂ x∂y
второго порядка называется смешанной. Смешанная частная производная
второго порядка, вообще говоря, зависит от того, в какой последовательности
берутся переменные, по которым вычисляется производная. Так,
производная zxy′′ = (zx′ )y′ может не быть равной zyx′′ = (zy′ )x′. Однако
существует теорема, утверждающая, что если смешанные частные
производные второго порядка непрерывны, то они не зависят от того, в
какой последовательности вычислялись частные производные по x и по
y. (Рекомендуем читателю самому убедиться в справедливости этой теоремы
для функций, рассмотренных в приведенных выше примерах 1 и 2.)
      Отметим очень важное отличие функции двух переменных от функции
одной переменной. Из существования первых частных производных в точке
не следует непрерывность функции в этой точке. Рассмотрим, например,
функцию

                                                ⎧0 при xy = 0
                                   f ( x, y ) = ⎨             .
                                                ⎩1 при xy ≠ 0