Высшая математика. Ч.2. Семёнова Т.В. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

График этой функции во всех точках, не принадлежащих осям
координат
OX и OY, представляет собой плоскость, параллельную плоскости
XOY, поднятую на 1. Сами эти оси координат также принадлежат графику
рассматриваемой функции. Очевидно, что в точке (0,0) функция имеет
частные производные по обоим аргументам, обе равные нулю. Очевидно
также, что в любой окрестности точки (0,0) можно найти точку
M такую, что
f(M) = 1, в то время как f(0, 0) = 0. Это означает существование разрыва
функции в точке (0,0).
3. Дифференциал функции двух переменных
Рассмотрим функцию z = f(x,y), имеющую в точке Р
0
(х
0
,у
0
) частные
производные
f
′
x
(х
0
,у
0
) и f
′
у
(х
0
,у
0
). Перейдём от точки Р
0
к точке
R
0
(x
0
+Δx,y
0
+Δу), придавая переменным х и у в точке Р
0
произвольные
приращения Δ
x и Δу, соответственно. При этом функция в точке Р
0
получит
приращение
Δ
f(х
0
,у
0
) = f(x
0
+Δx,y
0
+Δy) – f(x
0
,y
0
) = f(R
0
) – f(P
0
).
Если приращение функции
f(x,y) можно представить в виде
Δ
f(х
0
,у
0
) = f
′
x
(х
0
,у
0
)Δx + f
′
у
(х
0
,у
0
)Δу + α(Δx;Δу) Δx + β(Δx;Δу)Δу, (1)
где
()
(
)
lim ; lim ;
;;ΔΔ ΔΔ
ΔΔ
Δ
Δ
xy xy
xy xy
→→ →→
=
=
00 00
0
α
β
, то функция называется
дифференцируемой в точке Р
0
(х
0
,у
0
). Сумма первых двух слагаемых в
правой части равенства (1) называется
дифференциалом функции f(x,y) в
точке Р
0
и обозначается df(x
0
,y
0
):
df(x
0
,y
0
) = f
′
x
(х
0
,у
0
)Δx + f
′
у
(х
0
,у
0
)Δу. (2)
Если точка, в которой вычисляется дифференциал не существенна, его
принято обозначать просто
df. Из определения следует, что дифференциал
представляет собой главную часть приращения функции, линейную
относительно приращений её аргументов.
Полагая поочерёдно f(x,y) = х и
f
(x,y) = у, получим, что дифференциалы dх и dy независимых аргументов
функции
х и у равны соответственно Δx и Δу . Таким образом
df = f
′
x
dх + f
′
у
dу. 
      График этой функции во всех точках, не принадлежащих осям
координат OX и OY, представляет собой плоскость, параллельную плоскости
XOY, поднятую на 1. Сами эти оси координат также принадлежат графику
рассматриваемой функции. Очевидно, что в точке (0,0) функция имеет
частные производные по обоим аргументам, обе равные нулю. Очевидно
также, что в любой окрестности точки (0,0) можно найти точку M такую, что
f(M) = 1, в то время как f(0, 0) = 0. Это означает существование разрыва
функции в точке (0,0).




3. Дифференциал функции двух переменных
      Рассмотрим функцию z = f(x,y), имеющую в точке Р0(х0,у0) частные
производные f′x(х0,у0) и f′у(х0,у0). Перейдём от точки Р0 к точке
R0(x0+Δx,y0+Δу), придавая переменным х и у в точке Р0 произвольные
приращения Δx и Δу, соответственно. При этом функция в точке Р0 получит
приращение

             Δf(х0,у0) = f(x0+Δx,y0+Δy) – f(x0,y0) = f(R0) – f(P0).

Если приращение функции f(x,y) можно представить в виде

     Δf(х0,у0) = f′x(х0,у0)Δx + f′у(х0,у0)Δу + α(Δx;Δу) Δx + β(Δx;Δу)Δу,         (1)

где      lim       α( Δx; Δy) =     lim       β( Δx; Δy) = 0 , то функция называется
     Δx → 0; Δy→ 0              Δx → 0; Δy→ 0
дифференцируемой в точке Р0(х0,у0). Сумма первых двух слагаемых в
правой части равенства (1) называется дифференциалом функции f(x,y) в
точке Р0 и обозначается df(x0,y0):

                    df(x0,y0) = f′x(х0,у0)Δx + f′у(х0,у0)Δу.                     (2)

Если точка, в которой вычисляется дифференциал не существенна, его
принято обозначать просто df. Из определения следует, что дифференциал
представляет собой главную часть приращения функции, линейную
относительно приращений её аргументов. Полагая поочерёдно f(x,y) = х и
f(x,y) = у, получим, что дифференциалы dх и dy независимых аргументов
функции х и у равны соответственно Δx и Δу . Таким образом

                              df = f′x dх + f′у dу.

Страницы