Высшая математика. Ч.2. Семёнова Т.В. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

то есть ⎜Р
0
Р⎜ = f(x
0
,y
0
) (на рисунке для наглядности поверхность F выбрана
так, что все рассматриваемые значения функции и приращения в точке P
0
положительны, но это не ограничивает справедливости приведенных выше
выводов и формул в общем случае). Координатами точек Q
0
, S
0
и R
0
являются пары чисел соответственно (
x
0
,y
0
+Δу); (x
0
+Δx,y
0
) и (x
0
+Δx,y
0
+Δу),
причём
⎜Q
0
Q⎜ = f(Q
0
), ⎜S
0
S⎜ = f(S
0
) и ⎜R
0
R⎜ = f(R
0
). Приращение
Δf(х
0
,у
0
) функции в точке Р
0
равно ⎜RR
2
⎜.
Параллелограмм PQ
1
R
1
S
1
лежит в плоскости, которая касается
поверхности
F в точке Р. Прямоугольник PQ
2
R
2
S
2
расположен в
горизонтальной плоскости. Очевидно:
⎜Q
2
Q
1
⎜ = f′
y
(x
0
,y
0
)Δy и
⎜S
2
S
1
⎜ = f′
x
(x
0
,y
0
)Δx.
Из легко доказываемого равенства
⎜R
2
R
1
⎜ = ⎜S
2
S
1
⎜ + ⎜Q
2
Q
1
⎜
Так как
df(x
0
,y
0
) ≈ Δf(x
0
,y
0
), дифференциал df даёт приближенное
значение приращения функции при малых значениях приращений
аргументов.
4. Производная по направлению.
Пусть в плоскости XOY расположена точка M
0
(x
0
,y
0
). Зададим
произвольный угол
α
и рассмотрим множество точек на той же плоскости,
координаты которых определяются из формул
x = x
0
+ t cos
α
, y = y
0
+ t sin
α
. (1)
Здесь
t - параметр, который может быть равен любому числу. Из формул (1)
следует:
(
y - y
0
)/(x - x
0
) = tg
α
Это означает, что все точки
M(x,y), координаты которых удовлетворяют
равенствам (1), лежат на прямой, проходящей через точку
M
0
(x
0
,y
0
) и
составляющей угол
α
с осью OX. Каждому значению t соответствует
единственная точка
M(x,y), лежащая на этой прямой, причем согласно
формуле (1) из §1 расстояние между точками
M
0
(x
0
,y
0
) и M(x,y) равно t.
Можно считать эту прямую числовой осью с положительным направлением, 
то есть ⎜Р0Р⎜ = f(x0,y0) (на рисунке для наглядности поверхность F выбрана
так, что все рассматриваемые значения функции и приращения в точке P0
положительны, но это не ограничивает справедливости приведенных выше
выводов и формул в общем случае). Координатами точек Q0, S0 и R0
являются пары чисел соответственно (x0,y0+Δу); (x0+Δx,y0) и (x0+Δx,y0+Δу),
причём       ⎜Q0Q⎜ = f(Q0),   ⎜S0S⎜ = f(S0)   и   ⎜R0R⎜ = f(R0).     Приращение
Δf(х0,у0) функции в точке Р0 равно ⎜RR2⎜.
       Параллелограмм PQ1R1S1 лежит в плоскости, которая касается
поверхности F в точке Р. Прямоугольник PQ2R2S2 расположен в
горизонтальной          плоскости.         Очевидно: ⎜Q2Q1⎜ = f′y(x0,y0)Δy    и
⎜S2S1⎜ = f′x(x0,y0)Δx.
       Из легко доказываемого равенства

                        ⎜R2R1⎜ = ⎜S2S1⎜ + ⎜Q2Q1⎜

     Так как df(x0,y0) ≈ Δf(x0,y0), дифференциал df даёт приближенное
значение приращения функции при малых значениях приращений
аргументов.


4. Производная по направлению.
     Пусть в плоскости XOY расположена точка M0(x0,y0). Зададим
произвольный угол α и рассмотрим множество точек на той же плоскости,
координаты которых определяются из формул

                     x = x0 + t cosα, y = y0 + t sinα.                      (1)

Здесь t - параметр, который может быть равен любому числу. Из формул (1)
следует:

                          (y - y0)/(x - x0) = tgα

Это означает, что все точки M(x,y), координаты которых удовлетворяют
равенствам (1), лежат на прямой, проходящей через точку M0(x0,y0) и
составляющей угол α с осью OX. Каждому значению t соответствует
единственная точка M(x,y), лежащая на этой прямой, причем согласно
формуле (1) из §1 расстояние между точками M0(x0,y0) и M(x,y) равно t.
Можно считать эту прямую числовой осью с положительным направлением,

Страницы