Высшая математика. Ч.2. Семёнова Т.В. - 60 стр.

определяемым возрастанием параметра t. Обозначим положительное
направление этой оси символом l.
     Производной функции z = f(x,y) в точке M0(x0,y0) по направлению l
называется число

         ∂ f ( x0 , y 0 )        f ( x0 + t cos α , y0 + t sin α ) − f ( x0 , y0 )
                          = lim                                                    .   (2)
              ∂l            t →0                        t

     Производной функции по направлению можно дать геометрическую
интерпретацию. Если через прямую l, определяемую формулами (1),
провести вертикальную плоскость P (на самом деле в трехмерном
пространстве уравнения (1) определяют эту самую плоскость), то эта
плоскость пересечет поверхность-график функции z = f(x,y) вдоль




некоторой пространственной кривой L. Тангенс угла между горизонтальной
плоскостью и касательной к этой кривой в точке M0(x0,y0) равен производной
функции в этой точке по направлению l.
       В любом курсе математического анализа доказывается, что
производная по направлению, определяемая формулой (2), может быть
представлена в виде

             ∂ f ( x0 , y 0 ) ∂ f ( x0 , y 0 )         ∂ f ( x0 , y 0 )
                             =                 cos α +                  sin α .        (3)
                  ∂l               ∂x                      ∂y

Заметим, что частная производная по x тоже является производной по
направлению. Это направление определяется равенствами: cosα = 1; sinα = 0.
Аналогично частная производная по y — это производная по направлению,
которое можно задать условиями cosα = 0; sinα = 1.