Высшая математика. Ч.2. Семёнова Т.В. - 62 стр.

     Теперь можно сделать вывод, что производная функции z = f(x,y) по
направлению, определяемому углом α наклона к оси OX, в точке M0(x0,y0)
может быть вычислена по формуле

                   ∂ f ( x0 , y 0 )
                                    = grad f ( x0 ; y0 ) cos β .                                  (5)
                        ∂l
Здесь β - угол между вектором grad f ( x0 , y0 ) и вектором e , задающим
направление, по которому берется производная. Здесь также учтено, что
 e = 1.
       Из формулы (5) можно сделать очень важное заключение:
производная по направлению от функции z = f(x,y) в точке M0(x0,y0)
достигает наибольшего значения, если это направление совпадает с
направлением вектора-градиента функции в рассматриваемой точке, так
как cosβ ≤ 1, и равенство достигается только если β = 0 (очевидно, что другие
решения уравнения cosβ = 1 нас в данном случае не интересуют). Иначе
можно сказать, что вектор-градиент функции в точке направлен в
сторону наискорейшего возрастания функции в этой точке.

      Кроме того из формулы (5) следует, что наибольшее значение
производной по направлению в точке или наибольшее значение скорости
возрастания функции в точке равно длине вектора-градиента функции в этой
точке.
                                                                  y
      Пример. Требуется найти производную функции z =                 по
направлению, составляющему угол в 60° с осью OX, в точке (1;3). y − x
                                                                   y                     x
     Найдем частные производные функции: z′x =                           ; z′y = −
                                                              ( y − x) 2
                                                                                     ( y − x )2
Теперь можно определить градиент функции в точке (1;3):
               ⎧3 1 ⎫                                      ⎧1 3 ⎫
grad z (1;3) = ⎨ ;− ⎬ . Принимая во внимание равенство e = ⎨ ; ⎬ ,
               ⎩4 4⎭                                       ⎩2 2 ⎭
воспользуемся формулой (4):

                                      ∂ z (1;3) 3 − 3
                                               =      .
                                        ∂l         8

5. Экстремум функции двух переменных.
       Точка M0(x0,y0) является точкой максимума (минимума) функции
z = f(x,y), если найдется такая окрестность точки M0, что для всех точек