Высшая математика. Ч.2. Семёнова Т.В. - 63 стр.

M(x,y) из этой окрестности выполняется неравенство f(x,y)< f(x0,y0) ( f(x,y)>
f(x0,y0)).
       Точки максимума и минимума называются точками экстремума.




    Сформулируем необходимое условие экстремума. Если в точке экстремума
существует первая частная производная (по какому-либо аргументу), то она равна
нулю.
      Точки экстремума дифференцируемой функции (то есть функции,
имеющей непрерывные частные производные во всех точках некоторой
области) надо искать только среди тех точек, в которых все первые частные
производные равны нулю.
      Там, где выполняется необходимое условие, экстремума может и не
быть (здесь полная аналогия с функцией одной переменной).
      Пример:

                  z = xy; zx′ = y; zy′ = x; zx′(0,0) = 0; zy′(0,0) = 0.

      Обе частные производные в точке (0,0) обращаются в 0. Однако точка
(0,0) не является точкой экстремума, так как в ней самой z = 0, а в любой её
окрестности есть точки, где z(x,y) > 0 (это точки, лежащие внутри первого и
третьего координатных углов), и есть точки, где z(x,y) < 0 (это точки,
лежащие внутри второго и четвертого координатных углов).
      Для ответа на вопрос, является ли точка области определения функции
точкой экстремума, нужно использовать достаточное условие экстремума.
Ниже приводится его формулировка.
      Пусть zx′(x0,y0) = 0 и zy′(x0,y0) = 0, а вторые частные производные
функции z непрерывны в некоторой окрестности точки (x0,y0). Введем
обозначения: A = zxx′′(x0,y0); B = zxy′′(x0,y0); C = zyy′′(x0,y0); D = AC - B2.