Высшая математика. Ч.2. Семёнова Т.В. - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

Нас интересует вопрос, как найти приближенную формулу для функции y = f(x),
которая “наилучшим образом” описывала бы данные таблицы.
Пусть точки с координатами (x
i
,y
i
) группируются на плоскости вдоль
некоторой прямой. Задача заключается в том, чтобы найти параметры
a
0
и a
1
этой прямой:
y = a
0
+ a
1
x, (1)
причем это нужно сделать так, чтобы она лучше любой другой прямой
соответствовала расположению на плоскости экспериментальных точек
(
x
i
, y
i
).
Признаком наилучшей прямой считается минимум суммы квадратов
отклонений фактических значений
y, полученных из таблицы, от
вычисленных по формуле (1). Эта сумма квадратов рассчитывается по
формуле
S
2
= (y
1
– (a
0
+ a
1
x
1
))
2
+ (y
2
– (a
0
+ a
1
x
2
))
2
+...+ (y
n
– (a
0
+ a
1
x
n
))
2
=
()()
∑
=
+−=
n
i
ii
xaay
1
2
10
.
Обратим внимание на то, что все
x
i
и y
i
— известные из таблицы числа,
а
S
2
есть функция двух переменных a
0
и a
1
.
S
2
= S
2
(a
0
,a
1
)
Можно показать, что график функции
S
2
выглядит примерно так, как
изображено на рисунке. Единственная точка, в которой обе частные
производные
0
2
a
S
∂
∂
и
1
2
a
S
∂
∂
равны нулю, является точкой минимума.
Отсюда следует, что точку минимума можно искать, используя лишь
необходимые условия экстремума: 
      Нас интересует вопрос, как найти приближенную формулу для функции y = f(x),
которая “наилучшим образом” описывала бы данные таблицы.
      Пусть точки с координатами (xi,yi) группируются на плоскости вдоль
некоторой прямой. Задача заключается в том, чтобы найти параметры a0 и a1
этой прямой:

                                    y = a0 + a1x,                                   (1)

причем это нужно сделать так, чтобы она лучше любой другой прямой
соответствовала расположению на плоскости экспериментальных точек
(xi, yi).
         Признаком наилучшей прямой считается минимум суммы квадратов
отклонений фактических значений y, полученных из таблицы, от
вычисленных по формуле (1). Эта сумма квадратов рассчитывается по
формуле
         S2 = (y1 – (a0 + a1x1))2 + (y2 – (a0 + a1x2))2 +...+ (yn – (a0 + a1xn))2 =
                              n
                           = ∑ ( yi − (a0 + a1 xi ))2 .
                             i =1


      Обратим внимание на то, что все xi и yi — известные из таблицы числа,
   2
а S есть функция двух переменных a0 и a1.

                                    S2 = S2(a0,a1)




     Можно показать, что график функции S2 выглядит примерно так, как
изображено на рисунке. Единственная точка, в которой обе частные
            ∂ S2 ∂ S2
производные      и      равны нулю, является точкой минимума.
            ∂ a0   ∂ a1


     Отсюда следует, что точку минимума можно искать, используя лишь
необходимые условия экстремума:

Страницы