Высшая математика. Ч.2. Семёнова Т.В. - 67 стр.

Обыкновенные дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения первого порядка
     Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых
неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, и в
уравнения входят не только сами функции, но и их производные. Если
производные, входящие в уравнение, берутся только по одной переменной,
то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Если в
уравнении встречаются производные по нескольким переменным, то
уравнение называется уравнением в частных производных. Мы будем
рассматривать лишь обыкновенные дифференциальные уравнения.
     Начнем с дифференциальных уравнений первого порядка. Это
уравнения, в которые входит лишь первая производная неизвестной
функции. Это уравнение может быть записано в виде

                             F(x,y,y′) = 0.                               (1)

                                                                         dy
Здесь x - независимая переменная, y - её неизвестная функция, y ′ =         -
                                                                         dx
производная функции y, F - заданная функция трех переменных. Функция F
может быть задана не для всех значений её аргументов, поэтому можно
говорить об области B определения функции F координатного пространства,
то есть о множестве точек координатного пространства трех переменных
x,y,y′.
        Приведем примеры дифференциальных уравнений первого порядка:
          y′ – x4 = 0;   xsiny′ – lny = 0;    xcosy + (y′ – y2)sinx = 0.
        Решением уравнения (1) называется такая функция y = ϕ(x),
определенная на некотором промежутке (x1, x2), что при подстановке её
вместо y в уравнение (1) получается верное равенство на всем промежутке
(x1, x2). Очевидно, что подстановка y = ϕ(x) возможна только тогда, когда
функция ϕ(x) на промежутке (x1, x2) имеет первую производную. Необходимо
также, чтобы при любом значении переменной x из промежутка (x1, x2) точка
с координатами x, y, y′ принадлежала множеству B, на котором определена
функция F. Совокупность всех решений дифференциального уравнения
называется его общим решением.
        В некоторых случаях уравнение (1) определяет переменную y′ как
функцию независимых переменных x и y:

                              y′ = f(x,y).                                (2)