Высшая математика. Ч.2. Семёнова Т.В. - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

Тогда дифференциальное уравнение (2) равносильно дифференциальному
уравнению (1) и называется
разрешенным относительно производной.
Рассмотрим свойства решений уравнения (2). Введем в рассмотрение
координатную плоскость
XY переменных x и y. Мы будем рассматривать
лишь такие уравнения, у которых
область определения правой части есть
некоторая открытая область G в плоскости XY (область называется
открытой, если каждая точка входит в неё вместе с некоторой своей
окрестностью). Пусть функция
y =
ϕ
(x) – решение уравнения (2). Тогда
график этой функции называется
интегральной линией или интегральной
кривой
. Эта кривая лежит в области G. Если точка (x
0
, y
0
) принадлежит
области
G, то интегральная кривая проходит через эту точку. Интегральная
кривая в рассматриваемой точке имеет касательную, угловой коэффициент
которой равен
ϕ
′(x
0
) = f(x
0
,
ϕ
(x
0
))
Таким образом, в каждой точке области
G можно установить положение
касательной к графику решения уравнения (2), проходящему через эту точку.
Можно себе представить, что в каждой
точке области
G построен короткий отрезок
касательной к интегральной кривой,
проходящей через эту точку. Тогда получится
чертеж, который называется
полем
направлений
, задаваемым уравнением (2).
Пример приведен на рисунке 1. Таким образом,
каждое дифференциальное уравнение вида (2) задает на плоскости
XY в
области
G поле направлений. Интегральные линии этого уравнения касаются
направления, задаваемого полем в этой точке.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися
переменными
Если в уравнении
y′ = f(x,y). (1)
f(x,y) = f
1
(x)f
2
(y), то такое уравнение называется уравнением с
разделяющимися переменными
. Его общий вид: 
Тогда дифференциальное уравнение (2) равносильно дифференциальному
уравнению (1) и называется разрешенным относительно производной.
     Рассмотрим свойства решений уравнения (2). Введем в рассмотрение
координатную плоскость XY переменных x и y. Мы будем рассматривать
лишь такие уравнения, у которых область определения правой части есть
некоторая открытая область G в плоскости XY (область называется
открытой, если каждая точка входит в неё вместе с некоторой своей
окрестностью). Пусть функция y = ϕ(x) – решение уравнения (2). Тогда
график этой функции называется интегральной линией или интегральной
кривой. Эта кривая лежит в области G. Если точка (x0, y0) принадлежит
области G, то интегральная кривая проходит через эту точку. Интегральная
кривая в рассматриваемой точке имеет касательную, угловой коэффициент
которой равен

                          ϕ′(x0) = f(x0, ϕ(x0))

Таким образом, в каждой точке области G можно установить положение
касательной к графику решения уравнения (2), проходящему через эту точку.
                                  Можно себе представить, что в каждой
                            точке области G построен короткий отрезок
                            касательной      к   интегральной     кривой,
                            проходящей через эту точку. Тогда получится
                            чертеж,     который     называется     полем
                            направлений, задаваемым уравнением (2).
                            Пример приведен на рисунке 1. Таким образом,
каждое дифференциальное уравнение вида (2) задает на плоскости XY в
области G поле направлений. Интегральные линии этого уравнения касаются
направления, задаваемого полем в этой точке.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися
переменными
       Если в уравнении

                              y′ = f(x,y).                            (1)

f(x,y) = f1(x)f2(y),
               то такое уравнение называется             уравнением     с
разделяющимися переменными. Его общий вид:

Страницы