Высшая математика. Ч.2. Семёнова Т.В. - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

()()
02
1
10
2
0
=−−−=
′
∑
=
n
i
iia
xaayS
, (2)
()()
02
1
10
2
1
=−−−=
′
∑
=
n
i
iiia
xaayxS
. (3)
На самом деле для фунуции
S
2
= S
2
(a
0
,a
1
) достаточно легко проверить
выполнение достаточных условия экстремума, тогда не нужно обращаться к
графику функции. Проверку выполнения достаточных условий
предоставляем читателю сделать самому.
Уравнения (2) и (3) можно преобразовать:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+
=+
∑∑∑
∑
∑
iiii
ii
yxxaxa
yxana
2
10
10
. (4)
Получилась так называемая
система нормальных уравнений
относительно неизвестных величин
a
0
и a
1
.
Формула (1) с параметрами
a
0
, a
1
определенными из системы (4),
называется
уравнением регрессии. Прямая линия, описываемая этим
уравнением, называется
линией регрессии. Для временных рядов обычно
вместо слова “регрессия” употребляется слово
тренд.
Если экспериментальные точки в плоскости
XOY группируются вдоль
некоторой кривой линии, то можно подобрать вместо формулы (1) другую
подходящую формулу, например,
y = a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
или y = a
0
exp(a
1
x) с
параметрами соответственно
a
0
, a
1
, a
2
и a
0
, a
1
, подставить ее в выражение
()
()
Syyx
ii
i
n
2
2
1
=−
=
∑
и искать минимум получившейся функции S
2
при
помощи частных производных по параметрам.
Упражнения
1. Найти частные производные первого порядка от следующих
функций:
1)
axyyxz 3
33
−+=
;
2)
y
x
z
=
;
3)
yx
yx
z
+
−
=
;
4)
x
y
z
sin
e
=
;
5)
x
y
z
= ;
6)
22
22
arcsin
yx
yx
z
+
−
=
; 
       ′          n
 S a20     = ∑ (− 2( yi − a0 − a1 xi )) = 0 ,                               (2)
                i =1

                                   ′        n
                             S a21     = ∑ (− 2 xi ( yi − a0 − a1 xi )) = 0 .                       (3)
                                           i =1

     На самом деле для фунуции S2 = S2(a0,a1) достаточно легко проверить
выполнение достаточных условия экстремума, тогда не нужно обращаться к
графику    функции.    Проверку    выполнения     достаточных    условий
предоставляем читателю сделать самому.
     Уравнения (2) и (3) можно преобразовать:

                                                ⎧⎪a0 n + a1 ∑ xi = ∑ yi
                                                 ⎨                             .                                    (4)
                                                 ⎪⎩a0 ∑ xi + a1 ∑ xi = ∑ xi yi
                                                                   2



     Получилась так называемая система нормальных уравнений
относительно неизвестных величин a0 и a1.
     Формула (1) с параметрами a0, a1 определенными из системы (4),
называется уравнением регрессии. Прямая линия, описываемая этим
уравнением, называется линией регрессии. Для временных рядов обычно
вместо слова “регрессия” употребляется слово тренд.
     Если экспериментальные точки в плоскости XOY группируются вдоль
некоторой кривой линии, то можно подобрать вместо формулы (1) другую
подходящую формулу, например, y = a0 + a1x + a2x2 или y = a0 exp(a1x) с
параметрами соответственно a0, a1, a2 и a0, a1, подставить ее в выражение
            n
           ∑ ( yi      − y( xi ))
                                       2
S2 =                                         и искать минимум получившейся функции S2 при
           i =1
помощи частных производных по параметрам.

Упражнения
           1. Найти частные производные первого порядка от следующих
           функций:

   1)             z = x 3 + y 3 − 3axy ;                                    2)     z = xy;
   3)                  x− y                                                 4)                 y
                  z=        ;                                                            sin
                       x+ y                                                        z=e         x;


   5)                  y                                                    6)
                  z=     ;                                                                            x2 − y2
                       x                                                           z = arcsin                   ;
                                                                                                     x2 + y2

Страницы