Высшая математика. Ч.2. Семёнова Т.В. - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

)()(
21
yfxf
dx
dy
= .
Предполагая, что
f
2
(y) ≠ 0, преобразуем последнее уравнение:
dxxf
yf
dy
)(
)(
1
2
= .
В обеих частях полученного уравнения стоят дифференциалы некоторых
функций аргумента
х. Из равенства дифференциалов этих функций следует,
что сами функции отличаются одна от другой на константу.
Применим изложенный метод к задаче об эффективности рекламы.
Пусть торговой фирмой реализуется некоторая продукция, о которой в
момент времени
t = 0 из рекламы получили информацию x
0
человек из
общего числа
N потенциальных покупателей. Далее эта информация
распространяется посредством общения людей, и в момент времени
t > 0
число знающих о продукции людей равно
x(t). Сделаем предположение, что
скорость роста числа знающих о продукции пропорциональна как числу
осведомлённых в данный момент покупателей, так и числу неосведомленных
покупателей. Это приводит к дифференциальному уравнению
)( xNkx
dt
dx
−= .
Здесь
k – положительный коэффициент пропорциональности. Из уравнения
получаем равенство дифференциалов двух функций аргумента
t:
()
kdt
xNx
dx
=
−
.
Интегрируя левую и правую части, находим общее решение дифферен-
циального уравнения:
Ckt
xN
x
N
+=
−
ln
1
.
В общее решение входит неопределенная константа
С. Полагая NC = D,
получим равенство:
x/(N – x) = e
Nkt + D
, 
                           dy
                              = f1 ( x) f 2 ( y ) .
                           dx

Предполагая, что f2(y) ≠ 0, преобразуем последнее уравнение:

                              dy
                                     = f1 ( x)dx .
                            f 2 ( y)

В обеих частях полученного уравнения стоят дифференциалы некоторых
функций аргумента х. Из равенства дифференциалов этих функций следует,
что сами функции отличаются одна от другой на константу.
      Применим изложенный метод к задаче об эффективности рекламы.
      Пусть торговой фирмой реализуется некоторая продукция, о которой в
момент времени t = 0 из рекламы получили информацию x0 человек из
общего числа N потенциальных покупателей. Далее эта информация
распространяется посредством общения людей, и в момент времени t > 0
число знающих о продукции людей равно x(t). Сделаем предположение, что
скорость роста числа знающих о продукции пропорциональна как числу
осведомлённых в данный момент покупателей, так и числу неосведомленных
покупателей. Это приводит к дифференциальному уравнению

                            dx
                               = kx( N − x) .
                            dt

Здесь k – положительный коэффициент пропорциональности. Из уравнения
получаем равенство дифференциалов двух функций аргумента t:

                                dx
                                       = kdt .
                            x( N − x )

Интегрируя левую и правую части, находим общее решение дифферен-
циального уравнения:

                          1    x
                            ln   = kt + C .
                          N N−x

В общее решение входит неопределенная константа С. Полагая NC = D,
получим равенство:

                          x/(N – x) = eNkt + D,

Страницы