Высшая математика. Ч.2. Семёнова Т.В. - 71 стр.

станет однородным: (u -2v)du +(2u+v)dv=0. Поэтому решается введением новой
            v
переменной = t .
            u

     Если Δ = 0, формулы Крамера неприменимы, строки определителя пропорци-
           a    b
ональны:      = = t.
           a1 b1

                    c
   Пусть при этом     ≠ t , например (x+y-2)dx+(2x+2y+1)dy=0.
                   c1
Решение: x+y=z. Тогда y=z-x, dy=dz-dx . Подставляем в уравнение
  (z-2)dx+(2z+1)(dz-dx)=0, приводим подобные члены

                                                            2z + 1
 dx(z-2-2z-1)+dz(2z+1)=0, dx(-z-3)+dz(2z+1)=0, dx -                dz = 0, интегрируем
                                                            z+3
               5
    x - ∫ (2 −      )dz = 0 , x -2z +5ln z + 3 = c, x-2(x+y)+5ln x + y + 3 = c.
              z+3
            с
    Случай     = t , например (x-y+1)dx+(3x-3y+3)dy=0 , интереса не представляет, так
            с1
как сводится к простейшему уравнению dx+3dy=0.



           Уравнения в полных дифференциалах
    Уравнение вида P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 называется уравнением в полных
дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой
(пока неизвестной) функции u(x,y).
    Так как по определению du= u ′x dx + u ′y dy , то в этом случае u ′x = P, u ′y = Q .

Продифференцировав первое равенство по y, а второе по x, получим
      u ′xy′ = Py′ , u ′yx′ = Q x′ , откуда следует Py′ = Q x′ . Это равенство является признаком
уравнения в полных дифференциалах.
      Если последнее условие соблюдено,то

u ′x = P , следовательно u = ∫ Pdx + ϕ ( y ) , где ϕ ( y ) константа, т.к. интегрирование
производится по x.
u ′y = Q , поэтому , продифференцировав предыдущее равенство по y, следует приравнять
его к Q:

             (∫ Pdx )′   y   + ϕ ′y ( y ) = Q .
Отсюда определяется ϕ ′( y ), затем ϕ ( y ) . Осталось подставить эту функцию в найденное
значение u . Так как du=0, то u=c - общее решение уравнения.

Пример. 2x cosy dx + (y 2 − x 2 sin y )dy = 0
Решение: Р(x,y)=2xcosy,            Py′ = −2 x sin y.
            Q(x,y)= y 2 − x 2 sin y, Q x′ = −2 x sin y.