Высшая математика. Ч.2. Семёнова Т.В. - 72 стр.

Условие выполнено – это уравнение в полных дифференциалах.
u ′x = 2 x cos y, u = ∫ 2 x cos ydx = x 2 cos y + ϕ ( y ),

u ′y = y 2 − x 2 sin y,   u ′y = − x 2 sin y + ϕ ′( y ) = y 2 − x 2 sin y, после сокращения получим
                                                                                          y3
                                           ϕ ′( y ) = y 2 , откуда ϕ ( y ) = ∫ y 2 dy =      .
                                                                                          3


                                                                                      y3
Следовательно, общее решение уравнения имеет вид:                       x 2 cos y +      = c.
                                                                                      3




                            ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

                                                 ПЕРВОГО ПОРЯДКА

                    Уравнения вида     y ′ + P ( x ) y = Q ( x ), содержащее y и y ′ в первой
степени, называется
               линейным.
                     Его решение будем искать в виде y = uv, где u и v специальным
образом подобранные
              функции. Тогда y′ = u ′v + uv′. Уравнение примет вид
                                       u ′v + uv ′ + P ( x)uv = Q ( x),
                                        v (u ′ + P( x)u ) + uv ′ = Q( x).
                     Подберём u таким образом, чтобы выражение в скобках обратилось в
нуль, то есть решим
             сначала уравнение
                                           u ′ + P ( x )u = 0.
                     Найдя отсюда u, подставим его значение в последнее уравнение
uv ′ = Q ( x ) , откуда определим
             и второй сомножитель v.
             Пример.                      y ′ + y sin x = 2 xe cos x .
             Решение:                      u ′v + uv ′ + uv sin x = 2 xe cos x ,
                                           v(u ′ + u sin x ) + uv ′ = 2 xe cos x ,
             найдём u из уравнения             u ′ + u sin x = 0,
                                               du+usinxdx=0,
                                               du
                                                     + sin xdx = 0,
                                                u
            интегрируем:                        lnu-cosx=0,
                                                      u = e cos x .
            Подставляем в уравнение
                                              e cos x v ′ = 2 xe cos x ,
                                                      v ′ = 2 x,
                                                    v = x 2 + c.