Высшая математика. Ч.2. Семёнова Т.В. - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

Следовательно, y=
(
)
.
2cos
cxe
x
+
Уравнение вида ,)()(
r
yxQyxPy =+
′
где r-рациональное число,
уже не является линейным. Оно называется
уравнением Бернулли и решается тем же способом.
Замечание. Линейные уравнения и уравнения Бернулли можно решить и по-
другому – методом вариации произвольной постоянной.
Покажем этот метод на том же примере. Сначала решим уравнение
.0sin =+
′
xyy
.0sin =+ xdx
y
dy
,lncosln cxy =−
,
cos x
e
c
y
=
.
cos x
cey =
Решение уравнения с правой частью будем искать в виде:
,)(
cos x
exCy = заменив константу
с
функцией от
x
.
Тогда ).sin()()(
coscos
xexCexCy
xx
−+
′
=
′
Подставив в уравнение y и
y
′
,
получим
.2sin)()sin()()(
coscoscoscos xxxx
xexexCxexCexC =+−+
′
Второе и третье слагаемые уничтожаются, после сокращения на
:
cos x
e
.2)( xxС =
′
.)(
2
cxxC +=
Таким образом, .)(
cos2 x
ecxy +=
ДУ высших порядков
Уравнения, не содержащие явно искомой функции и ее производных до
порядка k – 1 включительно. 
           Следовательно,                                               (      )
                                                             y= e cos x x 2 + c .

              Уравнение вида        y ′ + P( x) y = Q( x) y r , где r-рациональное число,
уже не является линейным. Оно называется
       уравнением Бернулли и решается тем же способом.

      Замечание. Линейные уравнения и уравнения Бернулли можно решить и по-
другому – методом вариации произвольной постоянной.

                 Покажем этот метод на том же примере. Сначала решим уравнение
y ′ + y sin x = 0.


dy
   + sin xdx = 0.
 y

ln y − cos x = ln c,


y
  = e cos x ,
c

y = ce cos x .

                           Решение уравнения с правой частью будем искать в виде:
y = C ( x )e     cos x
                         ,  заменив константу с функцией от x .
                           Тогда y ′ = C ′( x)e cos x + C ( x)e cos x (− sin x). Подставив в уравнение y и y ′ ,
получим
                                       C ′( x)e cos x + C ( x)e cos x (− sin x) + C ( x)e cos x sin x = 2 xe cos x .
                            Второе и третье слагаемые уничтожаются, после сокращения на e cos x :
С ′( x ) = 2 x.

C ( x) = x 2 + c.
                            Таким образом,         y = ( x 2 + c)e cos x .




                                                ДУ высших порядков

    Уравнения, не содержащие явно искомой функции и ее производных до
                        порядка k – 1 включительно.

Страницы