Высшая математика. Ч.2. Семёнова Т.В. - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

из которого определим функцию x(t):
Nkt
E
e
N
x
−
+
=
1
. Здесь Е=
D
е
−
.
Однородные уравнения первого порядка
Функция f(x,y) называется однородной степени n , если f( ),(), yxfyx
n
λλλ
= .
Дифференциальное уравнение вида P(x,y) dx + Q(x,y) dy =0 называется
однородным, если P(x,y) и Q(x,y) однородные функции одной степени.
Такие уравнения решаются заменой
,u
x
y
=
тогда y=ux, dy
=udx+xdu. После чего уравнение сводится к известному типу уравнений с
разделяющимися переменными.
Пример. (x
2
-y
2
)dx +2xydy =0.
Решение: x
2
(1-u
2
)dx+2x
2
u
2
dx+2x
3
udu = 0. Приводим подобные члены, сокращаем
обе части на x
2
:
d x(1+u
2
) + 2xudu=0 , разделяем переменные
0
1
2
2
=
+
+
u
udu
x
dx
, интегрируем: ln
,ln1ln
2
Cux =++
откуда
x(1+u С=)
2
, x(1+ C
x
y
=)
2
2
, C
x
yx
=
+
22
- общее решение.
Уравнения, приводящиеся к однородным
Если Р(x.y)=ax+by+c, Q(x,y)=a
1
x +b
1
y +c
1
, то уравнение сводится к однородному
заменой
x = u +h, y = v +k, где константы h и k подбираются так, чтобы
свободные члены в P и Q обратились в нули.
Пример. (x -2y +7)dx + (2x +
у – 1)dx =0.
Решение. u+h-2v-2k+7= u-2v +(h-2k +7)
2u+2h+v+k-1= 2u+v+(2h+k-1)
Полагаем h-2k+7=0,
2h+k-1=0.
Полученную систему решаем по формулам Крамера.
5
12
21
=
−
=Δ , 5
11
27
1
−=
−−
=Δ , .15
12
71
2
=
−
=Δ
h=
1
1
−=
Δ
Δ
, k=
3
2
=
Δ
Δ
. Следовательно, x=u-1, y=v+3, dx=du, dy=dv и уравнение 
из которого определим функцию x(t):

                                     N
                           x=            − Nkt
                                                 . Здесь Е= е − D .
                                1 + Ee




               Однородные уравнения первого порядка

      Функция f(x,y) называется однородной степени n , если f( λx, λy ) = λn f ( x, y ) .
      Дифференциальное уравнение вида P(x,y) dx + Q(x,y) dy =0 называется
однородным, если P(x,y) и Q(x,y) однородные функции одной степени.
                                              y
      Такие уравнения решаются заменой = u , тогда y=ux, dy
                                              x
=udx+xdu. После чего уравнение сводится к известному типу уравнений с
разделяющимися переменными.
Пример.     (x 2 -y 2 )dx +2xydy =0.
Решение: x 2 (1-u 2 )dx+2x 2 u 2 dx+2x 3 udu = 0. Приводим подобные члены, сокращаем
обе части на x 2 :
            d x(1+u 2 ) + 2xudu=0 , разделяем переменные
             dx 2udu
                 +         = 0 , интегрируем: ln x + ln 1 + u 2 = ln C , откуда
              x 1+ u     2




                                            y2          x2 + y2
                     x(1+u 2 ) = С , x(1+      )=C,             = C - общее решение.
                                            x2             x
            Уравнения, приводящиеся к однородным
     Если Р(x.y)=ax+by+c, Q(x,y)=a 1 x +b 1 y +c 1 , то уравнение сводится к однородному
заменой
           x = u +h, y = v +k, где константы h и k подбираются так, чтобы
свободные члены в P и Q обратились в нули.

Пример. (x -2y +7)dx + (2x + у – 1)dx =0.

Решение. u+h-2v-2k+7= u-2v +(h-2k +7)
         2u+2h+v+k-1= 2u+v+(2h+k-1)
Полагаем h-2k+7=0,
         2h+k-1=0.
Полученную систему решаем по формулам Крамера.

      1 −2                     −7 −2                        1 −7
Δ=         =5    ,      Δ1 =         = −5        ,   Δ2 =        = 15.
      2 1                      1  1                         2 1


     Δ1          Δ
h=      = −1 , k= 2 = 3 . Следовательно, x=u-1, y=v+3, dx=du, dy=dv и уравнение
     Δ            Δ

Страницы