Высшая математика. Ч.2. Семёнова Т.В. - 61 стр.

     Прежде, чем анализировать формулу (3), приведем некоторые понятия
и факты из курса векторной алгебры. Пусть в плоскости с системой
координат XOY задан направленный отрезок r или (что то же самое) вектор,
причем точка M0(x0,y0) является его начальной точкой, а M1(x1,y1) - конечной
точкой. Определим координату вектора по оси OX как число, равное x1 - x0, а
координату по оси OY , как число, равное y1 - y0. Если задать упорядоченную
пару любых чисел a и b, то эти числа можно рассматривать как координаты
некоторого вектора r в плоскости XOY, причем длина этого вектора
определена формулой

                               ρ = r = a 2 + b2 ,

а тангенс угла наклона γ вектора к оси OX определяется из формулы tgγ = b/a
(отметим, что зная величину tgγ , а также знак любого из чисел a и b, мы
можем определить угол γ с точностью до 2π ).
      Представление вектора в виде пары его координат будем записывать в
виде r (a; b ) или r = {a; b}. Такое представление имеет одну характерную
особенность: оно не определяет местоположение вектора на плоскости
XOY. Чтобы его определить, нужно наряду с координатами вектора задавать,
например, координаты его начальной точки или, как её можно назвать, точки
приложения вектора.
      Если заданы два вектора: a = {a1; a2 } и b = {b1;b2 }, то скалярным
произведением ab этих векторов называется число a b cos ϕ (ϕ- угол
между векторами).
      В любом курсе векторной алгебры доказывается, что скалярное
произведение векторов a = {a1; a2 } и b = {b1;b2 } равно сумме произведений
одноименных координат этих векторов:

                               a b = a1b1 + a2b2.                         (4)
       Пусть в некоторой области G плоскости XOY задана функция z = f(x,y),
имеющая непрерывные частные производные по обоим аргументам.
Градиентом или вектором-градиентом grad f ( x; y ) функции f(x,y) в точке
(x,y) ∈ G называется вектор, который задается формулой

                                     ⎧ ∂ f ( x , y ) ∂ f ( x, y ) ⎫
                   grad f ( x, y ) = ⎨              ;             ⎬.
                                     ⎩ ∂x               ∂y ⎭

     Функция f определяет для каждой точки области G вектор-градиент,
исходящий из этой точки.
     Возвратимся теперь к формуле (3). Ее правую часть мы можем
рассматривать, как скалярное произведение векторов. Первый из них -
вектор-градиент функции z = f(x,y) в точке M0(x0,y0):
     Второй – вектор e = {cos α ; sin α }. Это вектор, имеющий длину 1 и угол
наклона к оси OX, равный α.